1、第六章 平面向量初步一、选择题(每小题5分，共60分)1下列命题中正确的是(C)Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点Ca与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行解析：由于零向量与任一向量都共线，所以当b为零向量时，a与c不一定共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线
2、，可知a与b共线，这与已知a与b不共线矛盾，所以假设不成立，即a与b都是非零向量，C正确故选C.2已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于(D)A(1，2)B(1，2)C(1,2)D(1,2)解析：根据力的平衡原理有f1f2f3f40，f4(f1f2f3)(1,2)3已知向量a(2,1)，b(x，2)，若ab，则ab等于(A)A(2，1) B(2,1) C(3，1) D(3,1)解析：因为向量a(2,1)，b(x，2)，ab，所以2(2)1xx4，所以a(2,1)，b(4，2)，ab(2，1)，故选A.4已知
3、M，P，Q三点不共线，且点O满足8340，则下列结论正确的是(D)A. B.3C.4 D.34解析：由8340，得3()0，则340，即34.故选D.5在平行四边形ABCD中，a，b，c，d，则下列运算正确的是(B)Aabcd0 Babcd0Cabcd0 Dabcd0解析：abcd0.6在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(C)A平行四边形 B矩形C梯形 D菱形解析：8a2b2，四边形ABCD为梯形7已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，下列结论中正确的是(D)AP在ABC的内部 BP在ABC的边AB上CP在AB边所在直线上 DP在AB
4、C的外部解析：由可得，四边形PBCA为平行四边形可知点P在ABC的外部故选D.8设D为ABC所在平面内一点，3，则(A)A. B.C. D.解析：().故选A.9已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，若A，B，C三点共线，则(D)A2 B1 C1 D1解析：A，B，C三点共线，存在mR，使得m，1，故选D.10设M是ABC所在平面上一点，且0，D是AC的中点，则的值为(A)A. B. C1 D2解析：因为D为AC的中点，所以()23，故，故选A.11ABC中，D在AC上，P是BD上的点，m，则m的值为(A)A. B. C. D.解析：()(1)(1)，m，则m1，故选A.12若向量a(x,
5、2)，b，ca2b，d2ab，且cd，则c2d等于(D)A. B.C(1,2) D(1，2)解析：由已知得c(x1,4)，d(2x，3)，cd，3(x1)4，x1，c(2,4)，d，c2d(1，2)二、填空题(每小题5分，共20分)13已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_1_.解析：解析：a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)，(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0.m1.14已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则abc的模等于2.解析：|abc|2|2|2.15已知e1，e2不共线，且(3x4y)e1(2x3y)e22e17e2，则xy等于
6、_1_.解析：e1，e2不共线，解得xy1.16如图所示，已知OAB，由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区(不含边界)(1)若D为AB中点，()(用，表示)；(2)已知下列四个向量：2；.对于点M1，M2，M3，M4，落在阴影区域内(不含边界)的点有_M1，M2_(把所有符合条件点都填上)解析：(1)若D为AB中点，则由向量的加法法则可得()(2)设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N，则存在实数t(0,1，使得t(1t)，且存在实数r1，使得r，从而rtr(1t)，且rtr(1t)r1.又由于0t1，故r(1t)0.对于中rt1，r(1t)2，解得r3，t，满足
7、r1也满足r(1t)0，故满足条件对于中rt，r(1t)，解得r，t，满足r1也满足r(1t)0.故满足条件对于中rt，r(1t)，解得r，t，不满足r1，故不满足条件对于中rt，r(1t)，解得r，t，不满足r1，故不满足条件三、解答题(共70分)17(10分)如图，在梯形ABCD中ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b表示向量，.解：babba，b(ba)ba，b(ba)ab.18(12分)已知点A(1,2)，B(2,8)，A，求的坐标解：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由题意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3
8、，6)因为，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(2,0)从而(2，4)19(12分)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求3ab2c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)若(akc)(2ba)，求实数k.解：(1)3ab2c3(3,2)(1,2)2(4,1)(9,6)(1,2)(8,2)(0,6)(2)ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)，解得(3)(akc)(2ba)，又akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0，k.20(12分)已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，(
9、1)小船在河流中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30处有一个码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头(河水自西向东流)?解：(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h，小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，的方向表示小船的航向设MCMA，|10，CMN30.，四边形MANB为菱形在MNB中，|10，BMN60.又CMN30，CMB30.小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30.21(12分)如图所示，平行四边形ABCD中， E，F分别是边A
10、D，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点求证：ARRTTC.证明：设a，b，r，t，则ab.由于与共线，所以可设rn(ab)因为ab，与共线，所以可设mm(ab)因为，所以rbm.所以n(ab)bm，即(nm)ab0，由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有解得所以.同理.所以ARRTTC.22(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，2e1e2，e1e2，2e1e2，且A，E，C三点共线(1)求实数的值；(2)若e1(2,1)，e2(2，2)，求的坐标；(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标解：(1)(2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.A，E，C三点共线，存在实数k，使得k，即e1(1)e2k(2e1e2)，即(12k)e1(1k)e20.e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，12k0且1k0，解得k，.故实数的值为.(2)由(1)知，e1e2，则3e1e23(2,1)(2，2)(6，3)(1，1)(7，2)(3)A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，.设A(x，y)，则(3x,5y)由(2)知，(7，2)，解得即点A的坐标为(10,7)