1、课时素养评价 三十三空间图形的表面积 (20分钟35分)1.棱长为3的正方体的表面积为()A.27B.64C.54D.36【解析】选C.根据表面积的定义,组成正方体的面共6个,且每个都是边长为3的正方形.从而,其表面积为632=54.2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3【解析】选A.设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=(r+3r)3=84,解得r=7.3.棱长都是3的三棱锥的表面积S为_.【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形,所以S=432=9.答案:94.一个正四棱台,其上、下底
2、面均为正方形,边长分别为8 cm和18 cm,侧棱长为13 cm,则其表面积为_.【解析】由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h=12(cm),所以S侧=4(8+18)12=624(cm2),S上底=88=64(cm2),S下底=1818=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1 012(cm2).答案:1 012 cm25.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32,则母线长为_.【解析】因为l=,所以S侧=(R+r)l=2l2=32,所以l=4.答案:46.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积为392 cm2,母线与轴的夹角为45,求这个圆台
3、的高、母线长和底面半径.【解析】方法一:圆台的轴截面如图所示,根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.即AO=x cm,AO=3x cm(O,O分别为上、下底面圆心),过A作AB的垂线,垂足为点D.在RtAAD中,AAD=45,AD=AO-AO=2x cm,所以AD=AD=2x cm,又S轴截面=(AB+AB)AD=(2x+6x)2x=392(cm2),所以x=7.综上,圆台的高OO=14 cm,母线长AA=OO=14 cm,上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.方法二:圆台的轴截面如图所示,根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长AA,BB交
4、OO的延长线于点S(O,O分别为上、下底面圆心).在RtSOA中,ASO=45,所以SO=AO=3x cm,又SO=AO=x cm,所以OO=2x cm.又S轴截面=(2x+6x)2x=392(cm2),所以x=7.综上,圆台的高OO=14 cm,母线长AA=OO=14 cm,上、下底面的半径分别为7 cm,21 cm. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的()A.4倍B.3倍C.倍D.2倍【解析】选D.由已知得l=2r,=2.2.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的全面积为()A.8B.12C.1
5、6D.20【解析】选B.由题意得侧面三角形底边上的高为=2,所以该正四棱锥的全面积为22+422=12.3.正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的侧面积等于()A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选A.侧棱长为=a,斜高为=,所以S侧=3a=a2.4.将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体,则表面积增加了()A.6a2B.12a2C.18a2D.24a2【解析】选B.棱长为a的正方体的表面积为S1=6a2,由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2=27=18a2,因此表面积增加了12a2.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分
6、,有选错的得0分)5.若圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形,则该圆柱体的表面积可以是()A.+8B.+8C.+8D.+8【解析】选BD.由题知圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形,则分两种情况:当母线长为4时,圆柱的底面半径是,此时圆柱的表面积是+8;当母线长为2时圆柱的底面半径是,此时圆柱的表面积是+8.6.下列说法正确的有()A.多面体的表面积等于各个面的面积之和B.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的C.沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等D.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和【解析】选AD.A正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和.B错误.棱台的侧面展开图是
7、由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.C错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的.D正确.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和.三、填空题(每小题5分,共10分)7.一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3,若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,则孔的半径为_.【解析】由题意知,圆柱侧面积等于圆柱上、下底面积和,即2r3=2r2,所以r=3.答案:38.已知正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4 cm,高与斜高夹角为30,则斜高为_;侧面积为_;全面积为_.【解析】如图,正四
8、棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成直角POE.因为OE=2 cm,OPE=30,所以斜高PE=4(cm),所以S正四棱锥侧=444=32(cm2),S正四棱锥全=42+32=48(cm2).答案:4 cm32 cm248 cm2四、解答题(每小题10分,共20分)9.设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的全面积.【解析】设正三棱锥底面边长为a,斜高为h,如图所示,过O作OEAB,则SEAB,即SE=h.因为S侧=2S底,所以3ah=a22,所以a=h.因为SOOE,所以SO2+OE2=SE2,所以32+=h2.所以h=2,所以a=h=6.所以S
9、底=a2=62=9,S侧=2S底=18.所以S全=S侧+S底=18+9=27.10.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为,设这条最短路线与CC1的交点为N,求:(1)该正三棱柱的侧面展开图的对角线长;(2)PC与NC的长;(3)此棱柱的表面积.【解析】(1)正三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形其对角线长为=.(2)如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P移动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.设PC=x,即P1C=x,在RtMAP1中,由勾股定理得(3+x)2+22=29求得x=2(负值舍去),所以PC=P1C=2.因为=,所以NC=.(3)棱柱的表面积:S=S侧+2S底=94+232=.
