1、课时素养评价 三十二两平面垂直 (20分钟35分)1.若l为一条直线,为三个互不重合的平面,则下列说法错误的是()A.,B.,C.l,lD.l,l,则【解析】选A.,A不正确,可能平行;,B正确;l,l,C正确;因为垂直于同一直线的两平面平行,所以D正确.2.将锐角A为60,边长为a的菱形沿BD折成60的二面角,则折叠后A与C之间的距离为()A.aB.aC.aD.a【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.则BDCE,BDA1E.于是A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.故A1EC=60.因为A1E=CE,所以A1EC是等边三角形.所以A1E=CE=A1C=a
2、.3.设-l-是直二面角,直线a,直线b,a,b与l都不垂直,那么说法中正确的是()A.a与b可能垂直,但不可能平行B.a与b可能垂直,也可能平行C.a与b不可能垂直,但可能平行D.a与b不可能垂直,也不可能平行【解析】选C.当a,b都与l平行时,则ab,所以A,D错.如图,若ab,过a上一点P在内作al,因为,所以a.又b,所以ab,所以b,与题干要求矛盾,即a与b不可能垂直.4.已知l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列四个结论:若l,且,则l;若l,且,则l;若l,且,则l;若=m,且lm,则l.则所有正确结论的序号是_.【解析】若l,则l,可以平行或相交,l也可能在平面内,故
3、错误;由面面平行的性质、线面垂直的判定方法,得正确;若l,则l或l,故错误;若=m,lm,则l或l,故错误.所以正确结论的序号是.答案:5.若P是ABC所在平面外一点,而PBC和ABC都是边长为2的正三角形,PA=,那么二面角P-BC-A的大小为_.【解析】取BC的中点O,连接OA,OP(图略),则POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=,PA=,所以POA为直角三角形,POA=90.答案:906.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB平面ABCD.【证明】连接AC,交BD于点F,连接EF,所以EF是SAC的中位线,所以EFSC.因
4、为SC平面ABCD,所以EF平面ABCD.又EF平面EDB,所以平面EDB平面ABCD. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的序号是()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m【解析】选C.A中,由mn,n可得m或m或m,错误;B中,由m,可得m或m与相交或m,错误;C中,由m,n可得mn,又n,所以m,正确;D中,由mn,n,可得m或m与相交或m,错误.2.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面内,且ACPC,平面PAC平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一
5、条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点【解析】选D.因为平面PAC平面PBC,ACPC,平面PAC平面PBC=PC,AC平面PAC,所以AC平面PBC.又因为BC平面PBC,所以ACBC.所以ACB=90.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.3.如图所示,将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时BAC=60,那么这个二面角大小是()A.30B.45C.60D.90【解析】选D.连接BC,则ABC为等边三角形,设AD=a,则BC=AC=a,BD=DC=a,所以BC2=BD2+DC2,所以BDC=90.4.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩
6、形,PA底面ABCD,则这个四棱锥的五个面中两两垂直的对数为()A.5B.4C.3D.2【解析】选A.因为ADAB,ADPA且PAAB=A,可得AD平面PAB.同理可得BC平面PAB,AB平面PAD,CD平面PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面PAD平面PAB,平面PBC平面PAB,平面PCD平面PAD,平面PAB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,共有5对.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列四个命题其中真命题的是()A.过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直B.过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行C.如果两个平行平面和第
7、三个平面相交,那么所得的两条交线平行D.如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内【解析】选ACD.根据空间点、线、面间的位置关系,过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直,故A正确;过平面外一点有无数条直线与该平面平行,故B不正确;根据平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行,故C正确;根据两个平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内,故D正确.6.设l,m是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题错误的是()A.若lm,m,则lB.若l,l
8、m,则mC.若,=m,lm,则lD.若,则【解析】选ACD.对于A,直线l需垂直于平面内两条相交直线才能判定线面垂直,故A错误;对于B,可用线面垂直的判定定理证明,如在平面内作两条相交直线,由lm与l可证明m也垂直于这两条相交直线,即m,故B正确;对于C,也有可能是l或l与相交或l,故C错误;对于D,也有可能是与相交,故D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角,这时顶点A到BC的距离是_.【解析】在翻折后的图形中,BDC为二面角B-AD-C的平面角,即BDC=60,AD平面BDC.过D作DEBC于E,连接AE,则E为BC的中点,且
9、AEBC,所以AE即为点A到BC的距离.易知,AD=a,BCD是边长为的等边三角形,所以DE=a,AE=a.答案:a8.如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是_.【解析】如图:因为OAOB,OAOC,OB,OC且OBOC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA,又OA,根据两平面垂直的判定定理,可得.答案:两平面垂直的判定定理四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱锥A -BCD中,ABAD, BCBD, 平面ABD平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,
10、BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.【解题指南】(1)根据ABAD,EFAD,可得EFAB,从而得EF平面ABC.(2)证明BCAD,再由ABAD,从而可得AD平面ABC,即得ADAC.【证明】(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD, BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又因为ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC,又因为AC平面ABC,所以ADAC.
11、10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是A1B1,BC,C1D1和B1C1的中点.(1)求证:平面MNF平面NEF;(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值.【解析】(1)因为N,F均为所在棱的中点,所以NF平面A1B1C1D1.而MN平面A1B1C1D1,所以NFMN.又因为M,E均为所在棱的中点,所以C1MN和B1NE均为等腰直角三角形,所以MNC1=B1NE=45,所以MNE=90,所以MNNE.又NFNE=N,所以MN平面NEF.而MN平面MNF,所以平面MNF平面NEF.(2)在平面NEF中,过点N作NGEF于点G,连接MG.由(1)知MN平面NEF,
12、又EF平面NEF,所以MNEF.NG平面NEF,所以MNNG.又MNNG=N,所以EF平面MNG,所以EFMG.所以MGN为二面角M-EF-N的平面角.设该正方体的棱长为2.在RtNEF中,NG=,所以在RtMNG中,tanMGN=.所以二面角M-EF-N的平面角的正切值为.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,DAB=60,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:ADPB;(2)若E为BC边的中点,能否在棱上找到一点F,使平面DEF平面ABCD?并证明你的结论.【解析】(1)如图所示,设G为AD的中点,连接PG,BG,因为PAD为正三角形,所以PGAD.在菱形ABCD中,因为BAD=60,G为AD的中点,所以BGAD.又因为BGPG=G,所以AD平面PGB.因为PB平面PGB,所以ADPB.(2)当F为PC的中点时,满足平面DEF平面ABCD.设F为PC的中点,则在PBC中,FEPB.在菱形ABCD中,GBDE.因为FE平面DEF,DE平面DEF,EFDE=E,所以平面DEF平面PGB.由题意得PG平面ABCD,而PG平面PGB,所以平面PGB平面ABCD,所以平面DEF平面ABCD.