1、单元素养检测(二)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知函数f(x)=xlnx+x2-1,则f(1)为()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.依题意f=lnx+1+2x,所以f=0+1+2=3.2.设函数y=f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点【解析】选D.令y=ex+xex=(1+x)ex=0,得x=-1,当x-1时,y-1时,y0.故x=-1时,y取得极小值.3.若曲线y=
2、x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0【解析】选A.因为y=4x3,由y=4得x=1.而x=1时y=1,故l的方程为4x-y-3=0.【补偿训练】1.函数f(x)=x2+(2-a)x+a-1是偶函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是()A.y=2xB.y=-2x+4C.y=-xD.y=-x+2【解析】选A.由f(x)为偶函数得a=2,即f(x)=x2+1,从而f(1)=2,切点(1,2),所以切线为y=2x.2.曲线y=xsin x在点处的切线与x轴,直线x=所围成的三角形的面积为()
3、A.B.2C.22D.(2+)2【解析】选A.y=xsin x在处切线为y=-x,所围成的三角形面积为.4.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0)处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调减区间为()A.-1,+)B.(-,2C.(-,-1)和(1,2)D.2,+)【解析】选B.由导数几何意义知,在(-,2上f(x)0,故单调递减.5.若函数f(x)=2xf(1)+x2,则等于()A.-B.C.-D.-【解析】选C.因为f(x)=2f(1)+2x,则f(1)=2f(1)+2,所以f(1)=-2,所以f(x)=-4+2x,f(-1)=-6,又f(-1)=-2f(1
4、)+1=5,所以=-.6.若函数f(x)=,并且ab,则下列各结论正确的是()A.f(a)f()f B.f()ff(b)C.f()f f(a)D.f(b)ff()【解析】选D.a=b,f(x)=,令g(x)=xcos x-sin x,则g(x)=-xsin x0在成立,所以g(x)为上的减函数,所以g(x)g(0)=0,所以f(x)0,所以f(x)为上的减函数,所以f(b)f1,则不等式f(x+2 020)-(x+2 020)2f(-1)1,可得x2f(x)-2xf(x)x,设g(x)=,则g(x)=0,所以g(x)在(-,0)上单调递减.不等式f(x+2 020)-(x+2 020)2f(-
5、1)0,等价于f(-1)=g(-1),即为g(x+2 020)g(-1),所以解得-2 021x-2 020.8.设函数f(x)的图像如图,则函数y=f(x)的图像可能是下列选项中的()【解析】选D.由y=f(x)图像知有两个极值点,第一个是极大值点,第二个是极小值点,由极值意义知选D.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图像如图所示,以下结论错误的是()A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的最小值点C.y=f(
6、x)在区间(-3,1)上单调递增D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零【解析】选BD.根据导函数的图像可知当x(-,-3)时,f(x)0,在x(-3,1)时,f(x)0,所以函数y=f(x)在(-,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,则-3是函数y=f(x)的极值点,因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,则-1不是函数y=f(x)的最小值点,因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,则y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零;所以错误的选项为BD.10.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则下列a值符合要求的是()A.-3B.-2C.-1D.0【解
7、析】选ABC.由题意,f(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-,-2),(0,+)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,作出其大致图像如图所示,令x3+x2-=-得,x=0或x=-3,则结合图像可知,解得a-3,0).所以A,B,C选项符合.11.已知函数f(x)=xln x,若0x1x2,则下列结论正确的是()A.x2f(x1)x1f(x2)B.x1+f(x1)x2+f(x2)C.-1时,x1f(x1)+x2f(x2)2x2f(x1)【解析】选AD.g(x)=ln x,函数单调递增,则g(x2)g(x1),即,所以x1f(x2)x2f(x1),A正确;设h(x)=f(x)+x,所
8、以h(x)=ln x+2不是恒大于零,B错误;f(x)=xln x,所以f(x)=ln x+1不是恒小于零,C错误;ln x-1,故f(x)=ln x+10,函数单调递增,故(x2-x1)(f(x2)-f(x1)=x1f(x1)+x2f(x2)-x2f(x1)-x1f(x2)0,即x1f(x1)+x2f(x2)x2f(x1)+x1f(x2),=ln x2=ln x1,所以x1f(x2)x2f(x1),即x1f(x1)+x2f(x2)2x2f(x1),D正确.12.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当-ek0时
9、,-1x2,当f(x)0时,x2,(-,-1),(2,+)是函数的单调递减区间,(-1,2)是函数的单调递增区间,所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,所以B正确.C.当x+时,y0,根据B可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-ek0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为_.【解析】y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=(x0)的导数y=-(x0),曲线y= (x0)在点P处的切线斜率k2=- (m0),因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)16.函数f
10、(x)=ln-ax在(2,3)上单调递增,则实数a的取值范围是_.【解析】f(x)=-a=-a0在(2,3)上恒成立,即amin,所以,所以a.答案:a四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=,g(x)=aln x,aR.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.【解析】f(x)=,g(x)=(x0),由已知得解得a=,x=e2,所以两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f(e2)=,所以切线的方程为y-e=(x-e2).18.(12分)设函数f(x)=a(
11、x-5)2+6ln x,其中aR,f(x)的图像在点(1,f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)因为f(x)=a(x-5)2+6ln x(x0),所以f(x)=2a(x-5)+(x0).令x=1,得f(1)=16a,f(1)=6-8a,所以f(x)的图像在点(1,f(1)处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).因为切线与y轴相交于点(0,6),所以6-16a=8a-6,所以a=.(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x0),f(x)=(x-5)+=(x0).令f(x)=0,得x=2或x=3.当0x
12、3时,f(x)0,f(x)在区间(0,2),(3,+)上为增函数;当2x3时,f(x)0时,S(t)=t3+6t+,S(t)=,令S(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+)S(t)-0+S(t)极小值所以S(t)有极小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶函数,所以当t=2时,S(t)有最小值32.20.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)由于f=ae2x+ex-x,故f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),当a0时,aex-10.从而
13、f0时,令f=0,从而aex-1=0,得x=-ln a.x-ln af-0+f单调递减极小值单调递增综上,当a0时,f(x)在R上单调递减;当a0时,f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.(2)由(1)知,当a0时,f在R上单调递减,故f在R上至多一个零点,不满足条件.当a0时,f(x)min=f=1-+ln a.令g=1-+ln a,则g=+0.从而g在上单调递增,而g=0.故当0a1时,g1时g0.若a1,则f(x)min=1-+ln a=g0,故f0恒成立,从而f无零点,不满足条件.若a=1,则f(x)min=1-+ln a=0,故f=0仅有一个实根x=
14、-ln a=0,不满足条件.若0a1,则f(x)min=1-+ln a0.f=+1-0.故f在(-1,-ln a)上有一个实根,而又lnln =-ln a,且f=-ln=(3-a+a-2)-ln=-ln0.故f在上有一个实根.又f在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增,故f(x)在R上至多两个实根.又f在及上均至少有一个实数根,故f在R上恰有两个实根.综上,a的取值范围为.21.(12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公
15、司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)L=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x),令L=0得x=6+a或x=12(不合题意,舍去).因为3a5,所以86+a.在x=6+a两侧L的值由正值变负值,所以当86+a9,即3a时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+a,即a5时,Lmax=L6+a=6+a-3-a=43-a3,所以Q(a)=所以,若3a0,0,所以f(x)=ex+0.即f(x)在区间(a,+)上没有零点.当x(-,a)时,f(x)=ex+=,令g(x)=ex(x-a)+1.只要讨论g(x)的零点即可.g(x)=ex(x-a+1),g(a-1)=0.当x(-,a-1)时,g(x)0,g(x)是增函数.所以g(x)在区间(-,a)上的最小值为g(a-1)=1-ea-1.显然,当a=1时,g(a-1)=0,所以x=a-1是f(x)的唯一的零点;当a0,所以f(x)没有零点;当a1时,g(a-1)=1-ea-10,所以f(x)有两个零点.
