1、课时素养评价十三余弦定理、正弦定理应用举例距离问题 (15分钟30分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是()A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mileD.110 n mile【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l=70(n mile).【补偿训练】已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC=120,则A、C两地的距离为 ()A.1
2、0 kmB. kmC.10 kmD.10 km【解析】选D.在ABC中,AB=10 km,BC=20 km,ABC=120,则由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC=100+400-21020cos 120=100+400-21020=700,所以AC=10 km,即A、C两地的距离为10km.2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为 ()A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在ABC中,cos ABC=,ABC(0,),所以sin ABC=,所以在RtABD中,AD=ABs
3、in ABC=5=(m).3.已知A船在灯塔C北偏东80,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为.【解析】如图所示,在ABC中,ACB=40+80=120,AB=3 km,AC=2 km.设BC=a km.由余弦定理的推论,得cos ACB=,即cos 120=,解得a=-1或a=-1(舍去),即B到C的距离为a=(-1)千米.答案:(-1)千米4.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75,现要将其倾斜角改为30,则坡底要伸长千米.【解析】如图,BAO=75,C=30,AB=1 千米,所以ABC=BAO-BCA=75-30=45.在ABC
4、中,=,所以AC=(千米).答案:5.如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2处,此时两船相距10海里.问:乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接A1B2,由已知A2B2=10 海里,A1A2=30=10 (海里),所以A1A2=A2B2.又A1A2B2=60,所以A1A2B2是等边三角形,所以A1B2=A1A2=10 海里.由已知,A1B1=20 海里,B1A1B2=180-75-60=45,在A1B2B1中
5、,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1A1B2cos 45=202+(10)2-22010=200,所以B1B2=10 海里.因此,乙船的速度为60=30(海里/时).所以乙船每小时航行30海里. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.某人从A处出发,沿北偏东60行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为 ()A.4 kmB.6 kmC.7 kmD.9 km【解析】选C.如图所示,由题意可知AB=3 km,BC=2 km,ABC=150,由余弦定理得AC2=27+4-232cos 150=49,所以AC=7 km,所以A,C两地的距离为7 k
6、m.2.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 ()A.海里/小时B.34海里/小时C.海里/小时D.34海里/小时【解析】选A.如图所示,在PMN中,=.所以MN=34(海里),所以v=(海里/小时).3.已知甲船位于小岛A的南偏西30的B处,乙船位于小岛A处,AB=20 千米,甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶,同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向行驶,当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为 ()A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时【解析】选C.设当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的
7、时间为t小时,此时甲船位于C处,乙船位于D处,则AC=(20-6t)千米,AD=8t千米,由余弦定理可得,CD2=(20-6t)2+(8t)2-2(20-6t)8tcos 120=52t2-80t+400,故当CD取最小值时,t=.4.如图,某炮兵阵地位于A点,两观察所分别位于C,D两点.已知ACD为正三角形,且DC= km,当目标出现在B点时,测得CDB=45,BCD=75,则炮兵阵地与目标的距离是(精确到0.1)()A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km【解析】选C.CBD=180-BCD-CDB=60.在BCD中,由正弦定理,得BD=.在ABD中,ADB=45+
8、60=105,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+2=5+2.所以AB=2.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.【误区警示】解题时,要分清不同的三角形,在不同的三角形中,根据条件分别选用正弦定理和余弦定理.5.某人先向正东方向走了x km,然后他向右转150,向新的方向走了3 km,结果他离出发点恰好为 km,那么x的值为 ()A.或2B.2C.3D.3【解析】选A.如图,在ABC中由余弦定理得3=9+x2-6xcos 30,即x2-3x+6=0,解之得x=2或.6.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,
9、同时乙船从B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60方向驶去,则行驶15 min时,两船的距离是 ()A. kmB. kmC. kmD. km【解析】选B.由题意知AM=8=2(km),BN=12=3(km),MB=AB-AM=3-2=1(km),所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MBBNcos 120=1+9-213=13,所以MN= km.二、填空题(每小题5分,共10分)7.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题,2019年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示,没有完全断开),树干与地面成75角,折断部分与地面
10、成45角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是米(结果保留根号).【解题指南】根据题意,画出示意图,大树原来的高度分为两部分,利用正弦定理或余弦定理分别求出两部分的长度,求和即为大树原来的高度.【解析】如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则AOB=75,ABO=45,所以OAB=60.由正弦定理知,=,所以OA=米,AB=米,所以OA+AB=(5+5)米.答案:(5+5)8.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A,B.灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西75,与A相距3海里的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60方向,与B相距5海里的
11、C处,此时乙船与灯塔A之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.【解析】连接AC,由题意可知AB=BC=5 海里,ABC=ACB=BAC=60,CAD=45,可得:AC=5 海里,根据余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=25+18-253=13,故乙船与灯塔A之间的距离为5海里,两艘轮船之间的距离为海里.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.求索道AB的长.【解
12、析】在ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由=得AB=sin C=1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.10.如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45方向,此人向北偏西75方向前进 km到达D处,看到A在他的北偏东45方向,B在北偏东75方向,试求这两座建筑物之间的距离.【解析】依题意得,CD= km,ADB=BCD=30=BDC,DBC=120,ADC=60,DAC=45.在BDC中,由正弦定理得BC=(km).在
13、ADC中,由正弦定理得AC=3(km).在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=(3)2+()2-23cos 45=25.所以AB=5 km,故这两座建筑物之间的距离为5 km.1.某观测站C在A城的南偏西20的方向,由A城出发有一条公路,公路走向是南偏东40,在公路上测得距离C 31 km的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20 km后到达D处,此时C,D之间相距21 km,问此人还要走km才能到达A城.【解析】如图,CAB=60,BD=20 km,CB=31 km,CD=21 km.在BCD中,由余弦定理的推论,得cos BDC=-,则sin BDC=.在
14、ACD中,ACD=BDC-CAD=BDC-60.由正弦定理,得AD=.因为sin ACD=sin(BDC-60)=sin BDCcos 60-cos BDCsin 60=,所以AD=15(km).答案:15【补偿训练】如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,A,B,C,D四点共圆,则AC的长为km.【解析】因为A,B,C,D四点共圆,所以D+B=.在ABC和ADC中,由余弦定理可得82+52-285cos(-D)=32+52-235cos D,整理得cos D=-,代入得AC2=32+52-
15、235=49,故AC=7 km.答案:72.一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动,到达点B时,发现足球在点D处正以自己速度的2倍向点A做匀速直线滚动,如图所示,已知AB=4 dm,AD=17 dm,BAD=45,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?【解析】设机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上,连接BC,如图所示,设BC=x dm,由题意知CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在ABC中由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,即x2=(4)2+(17-2x)2-8(17-2x)cos 45,解得x1=5,x2=.所以AC=17-2x=7(dm)或AC=-(dm)(舍去).所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球.