1、课时素养评价 十一基本不等式的应用 (15分钟35分)1.已知ab0,全集为R,集合M=xbx,N=x|xa,P=x|bb0结合基本不等式可得,ab,故P=M(RN).2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=B.xC.xD.x【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b),所以1+x1+,故x.3.已知a0,b0,ab=1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6【解题指南】利用“1”的代换解题.【解析】选B.因为ab=1,所以m=b+=2b,n=a
2、+=2a,所以m+n=2(a+b)4=4.当且仅当a=b=1时,等号成立.【补偿训练】 若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()A.B.2C.2D.4【解析】选C.由题意知a0,b0,则+2=,当且仅当=,即b=2a时等号成立.所以,即ab2.4.周长为+1的直角三角形面积的最大值为.【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,则+1=a+b+2+,解得ab,当且仅当a=b=时取等号,所以直角三角形面积S,即S的最大值为.答案:5.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=.【解析】总运费与
3、总存储费用之和f(x)=4x+4=4x+2=160,当且仅当4x=,即x=20时取等号.答案:206.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac.(2)+1.【证明】(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca.(2)因为+b2a,+c2b,+a2c.故+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c.所以+1. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若x,y为正数,且+2
4、y=3,则的最大值为()A.B.C.D.【解析】选D.由x,y为正数得3=+2y2,所以,当且仅当x=,y=时等号成立.2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形框架的周长为l,则ab=2,所以ab=4,l=a+b+2+=4+26.828(m).因为要求够用且浪费最少,故应选择7 m长的铁丝.3.已知a0,b0,若不等式+恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.18D.24【解析】选B.由+得m(a+3b
5、)=+6,又+62+6=12,当且仅当=,即a=3b时等号成立.所以m12,所以m的最大值为12.【补偿训练】 设a0,b0,且不等式+0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0B.4C.-4D.-2【解析】选C.由+0,得k,而=+24,当且仅当a=b时,等号成立,所以-4,因此要使k-恒成立,应有k-4,即实数k的最小值等于-4.4.若x,y为正数,则+的最小值是()A.3B.C.4D.【解析】选C.+=+4,当且仅当即x=y=时等号成立.【误区警示】同一题目中多次用基本不等式,必须保证每次用时等号成立的条件相同.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错
6、的得0分)5.已知a0,b0,a+b=1,对于代数式1+1+,下列说法正确的是()A.最小值为9B.最大值是9C.当a=b=时取得最小值D.当a=b=时取得最大值【解析】选AC.=1+1+=5+25+4=9.当且仅当a=b=时,取等号.6.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是()A.该单位每月处理量为400吨时,才
7、能使每吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利20 000元C.该单位每月不获利,也不亏损D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损【解析】选AD.由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-2002-200=200,当且仅当x=,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,因为x400,600,所以S-80 000,-40 000.故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不
8、亏损.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020江苏高考)已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是.【解析】因为5x2y2+y4=1(x,yR),所以y0,所以x2=,则x2+y2=+y22=,当且仅当=y2时,即y2=,x2=时,x2+y2的最小值是.答案:【补偿训练】 设x,y均为正数,且xy+x-y-10=0,则x+y的最小值是.【解析】由xy+x-y-10=0,得x=+1,所以x+y=+1+y2 =6,当且仅当=1+y,即y=2时,等号成立.答案:68.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mgL-1)随时间t(单位:h)
9、的变化关系为C=,则经过h后池水中该药品的浓度达到最大.【解析】C=.因为t0,所以t+2 =4当且仅当t=,即t=2时,等号成立.所以C=5,即当t=2时,C取得最大值.答案:2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x0,y0,则1=+2 =,得xy64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=(x+y)=10+10+2 =18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为1
10、8.10.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50x100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.【解析】(1)设所用时间为t=(h),y=2+14,x50,100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x50,100.(或y=+x,x50,100).(2)y=+x26,当且仅当=x,即x=18时,等号成立.故当x=18时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.1.已知正实数a,b,c满足a2-2ab
11、+9b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大值为.【解析】正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,得=,当且仅当=,即a=3b时,取最大值.又因为a2-2ab+9b2-c=0,所以此时c=12b2,所以+-=+-=1.当且仅当a=3,b=1时,等号成立.故最大值为1.答案:1【补偿训练】 设abc0,则2a2+-10ac+25c2的最小值是()A.2B.4C.2D.5【解析】选B.2a2+-10ac+25c2=(a-5c)2+a2-ab+ab+=(a-5c)2+ab+a(a-b)+0+2+2=4,当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1时,等号成立,如取a=,b=,c=时满
12、足条件.2.我们学习了二元基本不等式:设a0,b0,当且仅当a=b时,等号成立,利用基本不等式可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.(1)对于三元基本不等式请猜想:设a0,b0,c0,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全).(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明:设a0,b0,c0,求证:(a2+b2+c2)(a+b+c)9abc.(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值:设a0,b0,c0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.【解析】(1)对于三元基本不等式猜想:设a0,b0,c0,当且仅当a=b=c时,等号成立.答案:(2)因为a0,b0,c0,又因为a+b+c30,a2+b2+c230,所以(a2+b2+c2)(a+b+c)9=9abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.即(a2+b2+c2)(a+b+c)9abc,(3)因为a0,b0,c0,所以abc,又因为a+b+c=1,01-a1,01-b1,01-c1,所以(1-a)(1-b)(1-c)=,当且仅当a=b=c=时,等号成立.所以(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.
