1、江苏省天一中学 2020-2021 学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设向量1,0a，1 1,2 2b，则下列结论正确的是（）A.abB.22a bC.abbD./a b2.已知复数531izi，则下列说法正确的是（）A.z 的虚部为4iB.z 在复平面内对应的点在第二象限C.5z D.z 的共轭复数为14i3.从 4 名男同学和 3 名女同学中任选 3 名同学，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一名男同学与都是男同学B.至少有一名男同学与都是女同学C.恰有一名男同学与
2、恰有两名男同学D.至少有一名男同学与至少有一名女同学4.在ABC中，80a，100b，45A ，则此三角形解的情况是（）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为 26，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为 20，现从 1，2，3，4，5 中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A.310B.15C.110D.3206.设m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A.若/m ，/m ，则/B.若/m ，/m n，则/n C.若m，/m ，则D.若/m ，n，则/m n7.
3、如图，点 M 是正方体1111ABCDABC D的棱CD 的中点，则异面直线 AM 与1BC 所成角的余弦值是（）A.105B.2 55C.55D.10108.若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（）A.5:2B.5:4C.1:2D.3:4二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.给定一组数 5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A.平均数为 3B.标准差为 85C.众数为 2 和 3D.85%分位数为 4.
4、510.下列说法正确的是（）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是 0.5，0.25，则题被解出的概率是 0.125B.若 A，B 是互斥事件，则 P ABP AP B，0P AB C.某校 200 名教师的职称分布情况如下：高级占比 20%，中级占比 50%，初级占比 30%，现从中抽取 50 名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取 10 人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 2311.下列结论正确的是（）A.在ABC中，若 AB，则sinsinABB.在ABC中，若2220bca，则ABC是锐角三角形C.若sin 2sin 2AB，则三角形
5、ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形 ABC 中，sinsincoscosABAB12.对于给定的ABC，其外心为O，重心为G，垂心为 H，则下列结论正确的有（）A.212AO ABABB.OA OBOA OCOB OCC.过点G 的直线l 交 AB，AC 于 E，F，若 ABAB，AFAC，则 113D.AH 与coscosABACABBACC共线三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.在ABC中，2AB，3AC，2cos3A，则其外接圆的面积为_.14.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”PABCD，PA 底面 AB
6、CD，2PAAB，1AD，则该“阳马”的最长棱长等于_；外接球表面积等于_.15.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团的概率依次为 m，13，n，已知三个社团他都能进入的概率为 124，至少进入一个社团的概率为34，且mn，则mn的值是_.16.如图，在四边形 ABCD 中，/AD BC，ADAB，45BCD，90BAD，将ABD沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD中
7、，下列判断正确的是_（写出所有正确的序号）平面 ABD 平面 ABC直线 BC 与平面 ABD所成角是45平面 ACD 平面 ABC二面角CABD余弦值为33四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知向量3,4OA ，6,3OB ，5,3OCxy，4,1OD .（1）若四边形 ABCD 是平行四边形，求 x，y 的值（2）若ABC为等腰直角三角形，且B为直角，求 x，y 的值.18.（12 分）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240.（1）求复数；（2）设复数 zxyi（,x yR）满足：z 为纯虚数，2z，求
8、x y的值.19.（12 分）在ABC中，角 A、B、C 对应的边分别是a、b、c，已知cos23cos1ABC.（1）求角 A 的大小；（2）若ABC的面积5 3S，5b，求sinsinBC 的值.20.（12 分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW h的部分按 0.5 元/kW h收费，超过 200kW h但不超过400kW h的部分按 0.8 元/kW h收费，超过400kW h的部分按 1.0 元/kW h收费.（1）求某户居民用电费用 y（单位：元）关于月用电量 x（单位：kW h）的函数解析式（2）为了了解居民
9、的用电情况，通过抽样获得了今年 1 月份 100 户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这 100 户居民中，今年 1 月份电费不超过 260 元的占 80%，求a，b 的值；（3）在（2）的条件下，计算月用电量的 75 百分位数.21.（12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，D，E 分别为 AB，AC 的中点.（1）求证：11/BC平面1A DE；（2）若平面1A DE 平面11ABB A，求证：ABDE.22.（12 分）夜晚，在侨中 D 栋 5 楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事.完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑.某学习小组要完成两个实习
10、作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度，如图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点 A，B，其中 AB 指向正西方向.首先利用百度地图测距功能测出 AB 长度为2km，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的C，D 两点，测得30BCA，45ACD，60BDC，30ADB，学习小组根据上述条件计算出CD 长度，并将其与CD 的实际长度284km 进行比较，若误差介于 20米20 米之间，则认为百度地图测距是准确的.（1）通过计算说明百度地图测距是否准确？（21.414）（2）如图（2），小组在 A 处测得完美大厦主楼楼顶 M 在西偏北 方向上，在 B 处测得楼顶 M 在西偏北
11、方向上，且仰角45MBN；通过计算得 sin3sin4，cos11cos4，tan 450.0793，若百度地图测出的2kmAB 是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到 1 米）.江苏省天一中学 2020-2021 学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C解：对于 A，1a ，112442b，故 A 选项错误；对于 B，12a b，故 B 选项错误；对于 C，111 1,0222 2abb ，所以abb，故 C 选项正确；对于 D，111022，所以
12、两个向量1,0a，1 1,2 2b 不平行，故 D 选项错误，故选 C.2.【答案】D解：5315328141112iiiiziiii，A.z 的虚部为 4，故 A 错误；B.1 4zi 对应的点为1,4，在第一象限，故 B 错误；C.221417z，故 C 错误；D.z 的共轭复数为14i，故 D 正确；故选 D.3.【答案】C解：从 4 名男同学和 3 名女同学中任选 3 名同学，在 A 中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故 A 错误；在 B 中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故 B 错误；在 C 中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不
13、发生，是互斥面不对立的事件，故 C正确；在 D 中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故 D 错误.故选：C.4.【答案】B解：由正弦定理得：sinsinabAB，则22005 22sin808B，因为 5 22sin82A，且ba，所以 B 可以为锐角也可以为钝角，因此三角形解的情况是两解.故选 B.5.【答案】B解：由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为2606.从 1，2，3，4，5 中任取两个数字，基本事件总数为：1,2，1,3，1,4，1,5，2,3，2,4，2,5，3,4，3,5，4,5，共 10 个，设事件 A “取出的两个
14、数字之和为 6”，则事件 A 包含的基本事件有：1,5，2,4，共 2 个，因此该图形为“和谐图形”的概率为 21105，故选 B.6.【答案】C解：A.若/m ，/m ，则/；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故A 不正确；B.若/m ，/m n，则/n 或 n，故 B 不正确；C.若m，/m ，则；此命题正确，因为/m ，则一定存在直线n 在 ，使得/m n，又m可得出n，由面面垂直的判定定理知，故 C 正确；D.若/m ，n，则/m n 或 m，n 异面，故 D 不正确.故选 C.7.【答案】A解：如图，连接1AD，11ABC D，11/AB C D，四边形1
15、1ABC D 为平行四边形，则11/ADBC，则1D AM为异面直线 AM 与1BC 所成角，连接1D M.设正方体的棱长为 2，则12 2AD，15AMD M.22212 25510cos52 2 25D AM.即异面直线 AM 与1BC 所成角的余弦值是105.故选 A.8.【答案】A解：设球的半径为 r，所以球的体积为343 r.设圆锥的高为h，因为圆锥与球的体积相等，2341233rrh，hr.圆锥的母线为：2225rrr，球的表面积为：24 r.圆锥的侧面积为：21452 52rrr，圆锥侧面积与球面面积之比为5:2.故选 A.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
16、分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.【答案】AC解：平均数为 554333222 1310 ，故 A 正确；标准差为22221825 3433231 3105，故 B 错误；观察数据可得众数为 2 和 3，故 C 正确；将数据从小到大排序得 1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.则85108.5100i，第 85 百分位数为 5，故 D 错误.故选 AC.10.【答案】BCD解：对于 A，他们各自解出的概率分别是 12，14，则此题不能解出的概率为11311248，则此题能解出的概率为35188，故 A 错；对于 B，
17、若 A，B 是互斥事件，则 P ABP AP B，0P AB，故 B 正确；对于 C，高级教师应抽取50 20%10人，故 C 正确；对于 D，由列举法可知，两位女生相邻的概率是 23，故 D 正确.故选 CD.11.【答案】AD解：A.在ABC中，由2 sin2 sinsinsinabRARBABAB，故 A 正确.B.若2220bca，则222cos02bcaAbc，又因为0A，所以 A 为锐角，但ABC不一定为锐角三角形，故 B 错误.C.sin 2sin 2AB，22AB或22AB，AB或2AB，所以三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形，故 C 错误；D.在锐角三角形 ABC 中，
18、2AB，sinsin2AB，即sinsinAB，同理：sincosBA，sinsincoscosABAB，故 D 正确，故选 AD.12.【答案】ACD解：对于 A，由垂径定理可知，外心O 在 AB 上的射影为线段 AB 的中点，所以212AO ABAB，故 A 正确；对于 B，若OA OBOA OCOB OC，由OA OBOA OC，则0OAOBOC，即0OA CB，同理0OB CA，0OC AB，即点O 为ABC的垂心.又 H 为ABC的垂心，则有0HA BCHB ACHC AB，故 B 不正确；对于 C，因为G、E、F 三点共线，故存在实数t，使得11AGt AEt AFt ABtAC，
19、又G 为ABC的重心，故1133AGABAC，所以13113tt，则 113，故 C 正确；对于 D，因为0coscoscoscosABACAB BCAC BCBCBCBCABBACCABACC，所以coscosABACABBACC与 BC 垂直，又 H 为ABC的垂心，则 AH 与 BC 垂直，所以 AH 与coscosABACABBACC共线，故 D 正确，故选 ACD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.【答案】94解：在ABC中，2AB，3AC，故225sin133A，由余弦定理可得，222232 2 353BC ，则利用正弦定理可得：ABC的外接圆的直径
20、为5353，可得：ABC的外接圆的半径为 32，故ABC的外接圆的面积为 94，故答案为：94.2cos3A，则其外接圆的面积为_.14.【答案】3；9解：如图所示：易知该“阳马”的侧棱长为2223PCPAABBC，22222 2PB，22215PD，故最长的侧棱为 3，由条件易得：阳马 PABCD的外接球印是以 PA、AB、AD 为棱长的长方体的外接球.设其半径为 R，则222229RPAABAD，解得32R，所以外接球表面积249SR，故答案为 3；9.15.【答案】34解：由题知三个社团都能进入的概率为 124，即1113248mnmn，又因为至少进入一个社团的概率为 34，即一个社团都
21、没能进入的概率为31144.即213111348mnmnmn，整理得34mn.故答案为 34.16.【答案】解：在四边形 ABCD 中，由已知可得45DBC，假设平面 ABD 平面 ABC，又平面 ABD 平面 BCD，且平面 ABD平面 BDCBC，可得 BC 平面 ABD，有90DBC，与45DBC 矛盾，则假设错误，故错误；在四边形 ABCD 中，由已知可得 BDDC，又平面 ABD 平面 BCD，且平面 ABD平面 BDCBC，则 DC 平面 ABD，DBC为直线 BC 与平面 ABD所成角是45，故正确；由判断时可知，DC 平面 ABD，则 DCAB，又 ABAD，ADDCD，则 A
22、B 平面 ADC，而 AB 平面 ABC，则平面 ACD 平面 ABC，故正确；由判断时可知，AB 平面 ADC，则DAC为二面角CABD的平面角，设1ADAB，则2BDDC，由 DCAD，得3AC，得3cos3ADDACAC，故正确.故答案为：.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为3,4OA ，6,3OB ，5,3OCxy，4,1OD ，所以1,5ADODOA ，1,BCOCOBxy，由 ADBC，得2x ，5y .5 分（2）因为3,1AB ，1,BCxy，B为直角，所以 ABBC，310AB BCxy.又 ABBC，所以
23、22110 xy.联立22310110 xyxy，解得03xy 或23xy.10 分18.解：（1）2240，13i ，又复数 在复平面内对应的点位于第二象限，13i ；4 分（2）zxyi（,x yR），1333zixyixyxy i ，z 为纯虚数，30 xy，且 30 xy，由2z，得224xy，联立可得3x ，1y 或3x，1y ，3xy .12 分19.解：（1）由cos23cos1ABC，得22cos3cos20AA，即2cos1 cos20AA，解得1cos2A 或cos2A （舍去）.因为0A，所以3A.6 分（2）由13sin5 324SbcAbc，得到20bc，又5b，解得
24、4c，由余弦定理得2222cos25 162021abcbcA，故21a.又由正弦定理得222035sinsinsinsinsin2147bcbcBCAAAaaa.12 分20.解：（1）当0200 x时，0.5yx；当 200400 x时，0.5 2000.82000.860yxx；当400 x 时，0.5 2000.8 200 1.0400140yxx.所以 y 与 x 之间的函数解析式为0.5,0200,0.860,200400,140,400.xxyxxxx 4 分（2）由（1）可知，当260y 时，400 x，即用电量低于 400 千瓦时的占 80%，结合频率分布直方图可知 0.00
25、1 1002 1000.003 1000.8,1000.0005 1000.2.ba 解得0.0015a，0.0020b.8 分（3）设 75%分位数为m，因为用电量低于 300 千瓦时的所占比例为0.001 0.0020.00310060%，用电量低于 400 千瓦时的占 80%，所以 75%分位数m 在300,400 内，所以0.63000.0020.75m，解得375m，即用电量的 75%分位数为 375 千瓦时.12 分21.证明：（1）在直三棱柱111ABCABC中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11/BCBC.在ABC中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，故/BC DE
26、，所以11/B CDE.又11BC 平面1A DE，DE 平面1A DE，所以11/BC平面1A DE.6 分（2）如图，在平面11ABB A 内，过 A 作1AFA D于 F，因为平面1A DE 平面11A ABB，平面1ADE平面111A ABBA D，AF 平面11A ABB，又 DE 平面1A DE，所以 AFDE，在直三棱柱111ABCABC中，1AA 平面 ABC，DE 平面 ABC，所以1A ADE.因为1AFA AA，AF 平面11A ABB，1A A平面11A ABB，所以 DE 平面11A ABB.因为 AB 平面11A ABB，所以 DEAB.12 分22.【答案】解：（
27、1）设kmCDa，等腰 RtACD中，2 kmACa，在BCD中，30BCA，45ACD，60BDC，可得45CBD.由正弦定理得 sin 60sin 45BCa，解得62BCa；在ABC中，由余弦定理得22662(2)22cos30222ABaaaaa，2kmAB，2 2km2828ma，2828284020m，百度地图测距是准确的.4 分（2）由已知 sin3sin4，在ABN中，sin3sin4BNAN，设3BNx，4ANx，由余弦定理得，2222216947cos1616xxxxx，2222921647cos1616xxxABNxx，coscoscosABN，故coscos11coscos4ABN ，解得1x，所以3BN，4AN，在 RtMBN中，tanMNMBNBN，故tan3 tan 4.53 0.07930.238MNBNMBN ，故测算完美大厦主楼的高度约为238m.12 分