1、2015-2016学年四川省巴中市龙泉外国语学校高二（上）期中数学试卷（平行班）一、选择题1设集合A=x|x+2=0，B=2，2，则AB=（）A2B2C2，2D2已知sin=，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）ABCD3若直线l1：ax+2y8=0与l2：x+2y+4=0平行，则a的值为（）A2B1或2C1D1或24等比数列3，6，的第四项等于（）A24B9C12D245已知向量=（1，），=（3，），则与的夹角为（）A90B60C30D1506将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线（）A平行B相交C异面D垂直7一个多面体的三视图如图所示
2、，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D188直线2xcosy3=0（，）的斜率的变化范围是（）A，B1，C1，+）D（，9已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l10设函数y=x3与y=（）x2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）11如图：在三棱锥ABCD中，PAC，QBD，若VABPQ=6，VBCPQ=2，VQPCD=8，则三棱锥ABCD的体积VABCD为（）A22B34C32D4012某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人
3、数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有（）A4个B5个C6个D7个二、填空题13过原点与（3，）的直线的倾斜角=_14点A（2，6）到直线3x4y=2的距离是_15已知P（2，1），Q（2，t）点M为直线y+1=0上的动点若存在以PQ为直径的圆过点M，则实数t的取值范围为_16正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，在此棱
4、柱内放入一个半径为1的小球，当小球在棱柱内部自由运动时，则在棱柱内部小球所不能到达的空间的体积为_三、解答题.（书写规范，字迹清楚，易于辨认）17已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC18已知A（1，1），B（2，2）动点P（2a，a），t=PA2+PB2，当实数a为何值时t取得最小值？并求当t取最小值时点P的坐标19已知ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（5，0），C（3，4）（1）求直线AB的方程（2）求BC边上的中线所在直线方程20已知函数f（x）=cos（2x）cos2x，xR（1）求f（x）的最小正周期（2）求f（x）在区间，
5、上的最大值和最小值21如图：AB面BCD，BC=CD，BCD=90ADB=30，E，F分别是AC，AD的中点（1）求证：平面BEF平面ABC（2）作BGCD，求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线22在直棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC平面A1ABB1，且AA1=AB=BC=2N为B1C1中点（1）求三棱锥NA1BC的体积（2）求证：ABBC（3）（文科做）求AC与平面A1BC所成角的大小（理科做）求锐二面角AA1CB的大小2015-2016学年四川省巴中市龙泉外国语学校高二（上）期中数学试卷（平行班）参考答案与试题解析一、选择题1设集合A=x|x+2=0，B=2，2，则AB=（）A2
6、B2C2，2D【考点】交集及其运算【分析】求出集合A中方程的解，确定出集合A，找出A与B的公共元素即可确定出两集合的交集【解答】解：集合A=x|x+2=0=2，B=2，2，则AB=2，故选A2已知sin=，并且是第二象限的角，那么tan的值等于（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值【解答】解：sin=且是第二象限的角，故选A3若直线l1：ax+2y8=0与l2：x+2y+4=0平行，则a的值为（）A2B1或2C1D1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】利用平行线与斜率、截距的关系即可得出【
7、解答】解：直线l1：ax+2y8=0与l2：x+2y+4=0平行，=，解得a=1故选：C4等比数列3，6，的第四项等于（）A24B9C12D24【考点】等比数列的通项公式【分析】求出公比，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：公比q=2，a4=323=24故选：A5已知向量=（1，），=（3，），则与的夹角为（）A90B60C30D150【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】利用平面向量数量积的夹角公式，即可可求得夹角的大小【解答】解：设、的夹角为，=（1，），=（3，），=13+=6，|=2，|=2，cos=，又0，180，与的夹角=30故选：C6将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放
8、，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线（）A平行B相交C异面D垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项【解答】解：由题意，笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线垂直故选D7一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D18【考点
9、】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体2S棱锥侧+2S棱锥底=21+故选：A8直线2xcosy3=0（，）的斜率的变化范围是（）A，B1，C1，+）D（，【考点】直线的斜率【分析】找出直线的斜率为2cos，由的范围确定出斜率的范围即可【解答】解：因为直线2xcosy3=0的斜率k=2cos，由于，所以cos，因此k=2cos1，故选：B9已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交
10、，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论【解答】解：由m平面，直线l满足lm，且l，所以l，又n平面，ln，l，所以l由直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与相交，否则，若则推出mn，与m，n异面矛盾故与相交，且交线平行于l故选D10设函数y=x3与y=（）x2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】根据y=x3与y=（）x2的图象的交点的横坐标即为
11、g（x）=x322x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x322x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案【解答】解：y=（）x2=22x令g（x）=x322x，可求得：g（0）0，g（1）0，g（2）0，g（3）0，g（4）0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）故选B11如图：在三棱锥ABCD中，PAC，QBD，若VABPQ=6，VBCPQ=2，VQPCD=8，则三棱锥ABCD的体积VABCD为（）A22B34C32D40【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由=，得出VADPQ，则VABCD为四个小棱锥的体积和【解答】解：设P到平面BCD的距离为h，则VBCPQ
12、=VPBCQ=，VQPCD=VPCDQ=，=，=，=，VADPQ=4VPABQ=24，VABCD=6+2+8+24=40故选：D12某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有（）A4个B5个C6个D7个【考点】进行简单的演绎推理【分析】根据题意，构造关于M，N的方程组，表示M，N，K
13、的关系，进而由8分钟后不出现排队现象，可得不等式，由此可得结论【解答】解：设要同时开放x个窗口才能满足要求，则由（1）、（2）得KK=2.5M，N=60M代入（3）得60M+8M82.5Mx，解得x3.4故至少同时开放4 个窗口才能满足要求故选A二、填空题13过原点与（3，）的直线的倾斜角=120【考点】直线的倾斜角【分析】求出直线的斜率，然后求解倾斜角的大小即可【解答】解：过原点与（3，）的直线的斜率：设直线的倾斜角为：，则tan=，可得：=120故答案为：12014点A（2，6）到直线3x4y=2的距离是4【考点】点到直线的距离公式【分析】利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：点A（2
14、，6）到直线3x4y=2的距离，故答案为：415已知P（2，1），Q（2，t）点M为直线y+1=0上的动点若存在以PQ为直径的圆过点M，则实数t的取值范围为t1【考点】直线与圆的位置关系【分析】以PQ为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径为，点M为直线y+1=0上的动点，存在以PQ为直径的圆过点M，可得圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出实数t的取值范围【解答】解：以PQ为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径为，点M为直线y+1=0上的动点，存在以PQ为直径的圆过点M，|+1|，t1故答案为：t116正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，在此棱柱内放入一个半径为1的小球，当小球在棱柱内部自由运动时
15、，则在棱柱内部小球所不能到达的空间的体积为24【考点】球内接多面体【分析】小球在盒子不能到达的空间要分以下几种情况，在正四棱柱顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积，在以正四棱柱的棱为一条棱的4个四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为4221（121）=16，其他空间小球均能到达，综合后即可得到结果【解答】解：在正四棱柱的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8（1）=8，除此之外，在以正四棱柱的棱为一条棱的4个四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为4221（121）=16其他空间小球均能到达故小球不能到达的空间体积为：8+16=24故答案为：24三、解答题.（书写规范
16、，字迹清楚，易于辨认）17已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC【考点】直线与平面平行的判定【分析】取PC的中点M，连结FM，EM，则可证四边形AEMF是平行四边形，得出AFEM，于是AF平面PEC【解答】证明：取PC的中点M，连结FM，EMF，M是PD，PC的中点，FMCD，四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，AECD，四边形AEMF是平行四边形，AFEM，又AF平面PEC，EM平面PEC，AF平面PEC18已知A（1，1），B（2，2）动点P（2a，a），t=PA2+PB2，当实数a为何值时t取得最小值？并求当t取最小值时点P的
17、坐标【考点】轨迹方程【分析】利用距离公式得出t关于a的函数，根据二次函数的性质得出t取最小值时对应的a的值，从而得出P点坐标【解答】解：PA2=（2a1）2+（a1）2=5a26a+2，PB2=（2a2）2+（a2）2=5a212a+4，t=PA2+PB2=10a218a+6，当a=时，t取得最小值此时P点坐标为（，）19已知ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（5，0），C（3，4）（1）求直线AB的方程（2）求BC边上的中线所在直线方程【考点】直线的两点式方程【分析】（1）利用斜率计算公式可得：kAB=，利用点斜式即可得出直线AB的方程（2）线段BC的中点D（4，2），kAD=0即可得出
18、BC边上的中线所在直线方程【解答】解：（1）kAB=，直线AB的方程为：y0=（x5），化为：x+2y5=0（2）线段BC的中点D，即D（4，2），kAD=0BC边上的中线所在直线方程为：y=220已知函数f（x）=cos（2x）cos2x，xR（1）求f（x）的最小正周期（2）求f（x）在区间，上的最大值和最小值【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间，上的最大值和最小值【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x）cos2x=cos2x+sin2xcos
19、2x =sin2xcos2x=（sin2xcos2x）=sin（2x），故函数f（x）的周期为=（2）在区间，上，2x，故当2x=时，函数f（x）取得最大值为；当2x=时，函数f（x）取得最小值综上可得，f（x）在区间，上的最大值为，最小值为21如图：AB面BCD，BC=CD，BCD=90ADB=30，E，F分别是AC，AD的中点（1）求证：平面BEF平面ABC（2）作BGCD，求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线【考点】平面与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论【分析】（1）要证明面面垂直，可以证明线面垂直，则过这条直线的平面与直线垂直的平面垂直（2）AB面BCD，BCD=90，采用补形
20、法，利用中点的连线成中位线，平行底边即可证明【解答】证明：（1）E，F分别是AC，AD的中点，AE=EC，AF=FD；EFCD又AB面BCD，ABCD，CD平面ABC，EF平面ABC平面BEF平面ABC得证解：（2）连接GD，作AB的平行线，连接AM，MD（如图所示），延长EF交MD于NE，F分别是AC，AD的中点，AE=EC，AF=FD；BGCDAMEFCD，FNAMN必为MD的中点，ENBG，EN=BGBGNE是平行四边形同理：BGCD是平行四边形平面BGDC平面BGEN=BG作BGCD，BG是平面BEF与平面BCD的交线证毕22在直棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC平面A1ABB1，
21、且AA1=AB=BC=2N为B1C1中点（1）求三棱锥NA1BC的体积（2）求证：ABBC（3）（文科做）求AC与平面A1BC所成角的大小（理科做）求锐二面角AA1CB的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角【分析】（1）连结AB1，由四边形ABB1A1为正方形可得AB1A1B，根据面面垂直的性质得出AB1平面A1BC，故而AB1BC，结合BCBB1得出BC平面ABB1A1，故而V=V=V=；（2）由BC平面ABB1A1可得BCAB；（3）（文）设AB1，A1B交于点O，连结CO，则ACO为AC与平面A1BC所成角；（理）以B为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，则法向量的夹角（
22、或补交）即为二面角的大小【解答】解：（1）连结AB1，直棱柱ABCA1B1C1，AB=AA1=BC，四边形ABB1A1，BB1C1C是正方形，AB1A1B，BCBB1，又平面A1BC平面A1ABB1，平面A1BC平面A1ABB1=A1B，AB1平面A1BC，又BC平面BB1C1C，AB1BC，又BB1平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，BB1AB1=B1，BC平面ABB1A1，V=V=V=（2）由（1）得BC平面ABB1A1，又AB平面ABB1A1，BCAB（3）（文科）设AB1A1B=O，连结CO，由（1）可得AB1平面A1BC，ACO为AC与平面A1BC所成角AB=BC=AA1=2，AO=，AC=2，sinACO=，ACO=30，即AC与平面A1BC所成角为30（理科）以B为原点，以BC，BB1，BA为坐标轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B（0，0，0），A（0，0，2），C（2，0，0），A1（0，2，2），B1（0，2，0）=（2，2，2），=（2，0，2），=（0，2，2），AB1平面A1BC，=（0，2，2）是平面A1BC的一个法向量，设平面A1AC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1得=（1，0，1），cos，=，=120，锐二面角AA1CB的大小为602016年10月1日