1、第三章 三角函数、解三角形第5讲 两角和与差的正弦、余弦与正切公式考纲展示三年高考总结1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.从近三年高考情况来看，本节一般很少单独命题，通常是以两角和与差的公式为基础，求三角函数的相关性质，如周期、最值、单调性、对称性及三角函数的求值等为考查重点，题型既有选择题、填空题，也可能为解答题解答此类试题时，除熟练掌握相关公式外，还要注意公式的灵活变形应用.考点多维探究考点 1 两角和与差的三角函数公式回扣教材1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：
2、cos().(2)C()：cos().(3)S()：sin().(4)S()：sin().(5)T()：tan()，2k，kZ.(6)T()：tan()，2k，kZ.coscossinsincoscossinsinsincoscossinsincoscossintantan1tantantantan1tantan2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin2.(2)C2：cos2.(3)T2：tan24k，且k2，kZ.3必记结论(1)降幂公式：cos21cos22，sin21cos22.(2)升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin2.(3)公式变形：tantantan()(1
3、tantan)2sincoscos2sin22cos2112sin22tan1tan2小题快做1.思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式 sin()sinsin 成立()(3)公式 tan()tantan1tantan可以变形为 tantantan()(1tantan)，且对任意角，都成立()2计算 sin68sin67sin23cos68的结果等于()A.12B.22C.32D.33解析 利用两角差的正弦及诱导公式易知原式sin68cos23cos68sin23sin(6823)sin45 22，故选 B.3教材改编sin75cos30sin15s
4、in150_.22解析 由诱导公式及两角和的余弦公式易得原式cos15cos30sin15sin30cos(1530)cos45 22.4.22cos82 1sin8的化简结果为_2sin4解析 原式 4cos242 sin4cos422|cos4|2|sin4cos4|，因为54432，所以 cos40，且 sin4cos4，所以原式2cos42(sin4cos4)2sin4.典例1 (1)2015课标全国卷sin20cos10cos160sin10()A 32B.32C12D.12(2)2013重庆高考4cos50tan40()A.2B.2 32C.3D2 21解析(1)原式sin20co
5、s10cos20sin10sin(2010)sin3012，故选 D.(2)4cos50tan404sin40sin40cos404cos40sin40sin40cos402sin80sin40cos402sin12040sin40cos40 3cos40sin40sin40cos40 3cos40cos40 3，故选 C.利用两角和与差公式求值与化简问题的求解策略(1)三角化简、求值的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值提醒 在化简时要注意角
6、的取值范围.【跟踪训练】1设 tan，tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan()的值为()A3 B1C1 D3解析 由根与系数关系知tantan3，tantan2，所以 tan()tantan1tantan 3123，故选 A.2化简：1sincossin2cos222cos(0)解 由(0，)，得 020，22cos4cos222cos2.又(1sincos)sin2cos22sin2cos22cos22 sin2cos22cos2sin22cos222cos2cos.故原式2cos2cos2cos2cos.考点多维探究考点 2 两角和与差的三角函数公式的逆用与变式回扣教材必记结论
7、公式的常用变形(1)tantan；(2)cos2，sin2；(3)1sin2(sincos)2，sincos 2sin4.(4)asinbcos，其中 cosaa2b2，sinba2b2，tanba(a0)tan()(1tantan)1cos221cos22a2b2sin(a)典例2 (1)在ABC 中，若 tanAtanBtanAtanB1，则 cosC 的值为()A 22B.22C.12D12(2)2013课标全国卷设当 x 时，函数 f(x)sinx2cosx 取得最大值，则 cos_.2 55解析(1)由 tanAtanBtanAtanB1，可得 tanAtanB1tanAtanB1，
8、即 tan(AB)1，所以 AB34，则 C4，cosC 22.故选 B.(2)由辅助角公式得：f(x)555 sinx2 55 cosx 5sin(x)，其中 sin2 55，cos 55，由 x时，f(x)取得最大值得：sin()1，2k2，kZ，即 22k，coscos2 sin2 55.两角和与差公式变形的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)tantan，tantan(或 tantan)，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.【跟踪训练】32015赣州模拟已知 sin6 cos4 35，则 sin3 的值为
9、()A.45B.35C.32D.35解析 由条件得 32 sin32cos4 35，即12sin 32 cos45.sin3 45.42014课标全国卷函数 f(x)sin(x2)2sincos(x)的最大值为_1解析 f(x)sin(x)2sincos(x)sin(x)coscos(x)sin2sincos(x)sin(x)cossincos(x)sin(x)sinx，f(x)的最大值为 1.考点多维探究考点 3 角的变换回扣教材必记结论角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2()()，2()()，()()，4 43 3.(2)互余与互补关系例如，4 34 ，3 6 2.(3)非特殊角转
10、化为特殊角例如，154530，754530.典例3 (1)设 tan()25，tan4 14，则 tan4()A.1318B.1322C.322D.16(2)已知 02，且 cos2 19，sin2 23，cos()的值_.239729解析(1)tan4 tan4 tantan41tantan4 322，故选 C.(2)02，422，42，cos2 1sin22 53，sin2 1cos22 4 59，cos2 cos2 2cos2 cos2 sin2 sin219 53 4 59 237 527，cos()2cos22 12495729 1239729.角变换的应用技巧(1)当“已知角”有两
11、个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)注意角的变换技巧.【跟踪训练】5若 02，20，cos4 13，cos4 2 33，则 cos2()A.33B 33C.5 39D 69解析 cos2 cos4 42 cos4 cos42 sin4 sin42，由 02得4434，则 sin4 2 23由20 得4422，则 sin42 63，代入上式得 cos2 5 39，故选 C.6若 sin6 13，则 cos23 2 的值为()A.13B13C.79D79
12、解析 sin6 cos26 cos3 13，而 cos23 2 2cos23 179，故选 D.微专题自我纠错给值求角问题典例 2015江苏模拟已知、为三角形的两个内角，cos17，sin()5 314，则 _.错解 0，cos17，sin11724 37.又sin()5 314，cos()15 31421114.sinsin()sin()coscos()sin 32又0，3或23.3错因分析(1)不能根据题设条件缩小、及 的取值范围，在由同角基本关系式求 sin()时不能正确判断符号，产生两角(2)结论处应由 cos 的值确定 的取值，由 sin 确定结论时易出现两解而造成失误解析 因为 0，cos17，所以 sin 1cos24 37，故32，又因为 0，sin()5 314 32，所以 03或23.由32知23，所以 cos()1sin21114，所以 coscos()cos()cossin()sin12又 0，所以 3.答题启示 利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确定角的具体取值课后课时作业