1、创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 考纲要求：1.掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 1圆的定义及方程定义平面内到的距离等于的点的轨迹叫做圆圆心 C：标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)半径：圆心：D2，E2一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)半径：r D2E24F2定点定长(a，b)r创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 2.点与圆的位置关系(1)理论依据：与的距离与半径的大小关系(
2、2)三种情况圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)，(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2点在圆内点圆心=0.()创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.()(5)已知圆的方程为 x2y22y0，过点 A(1,2)作该圆的切线只有一条()答案：(1)(2)(3)(4)(5)创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 2方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是()A(，2)2
3、3，B.23，0C(2,0)D.2，23解析：选 D 由题意知 a24a24(2a2a1)0，解得2a23.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 3将圆 x2y22x4y10 平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：选 C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)A，B，C，D 四个选项中，只有 C 选项中的直线经过圆心创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 4若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是_解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，所以(1a)2(1a)24.
4、即 a21，故1a0)，则2545D2EF0，943D2EF0，2D2 E230，解得D4，E2，F5，所求圆的方程为 x2y24x2y50.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)设圆的方程为 x2y2DxEyF0，将 P、Q 两点的坐标分别代入得2D4EF20，3DEF10.又令 y0，得 x2DxF0.设 x1，x2 是方程的两根，由|x1x2|6 有 D24F36，由、解得 D2，E4，F8，或 D6，E8，F0.故所求圆的方程为 x2y22x4y80，或 x2y26x8y0.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(3)法一：如图，设圆心(x0，4x0)，依
5、题意得4x023x0 1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径 r2 2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 法二：设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得y04x0，3x022y02r2，|x0y01|2r，解得x01，y04，r2 2.因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 求圆的方程的方法(1)方程选择原则求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程创 新 方 案 系 列
6、 丛 书新课标高考总复习数学(2)求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2015江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：直线 mxy2m10 经过定点(2，1)当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径 r 满足 r2(12)2(01)22.答案：(x1)
7、2y22创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想归纳起来常见的命题角度有：角度一：斜率型最值问题典题 2 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则yx的最大值为_，最小值为_听前试做 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 所以设yxk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值(如图)，此时|2k0|k21 3，解得 k 3，所以yx的最大值为 3，最小值为 3.
8、答案：3 3创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 角度二：截距型最值问题典题 3 在典题 2 条件下，求 yx 的最大值听前试做 原方程可化为(x2)2y23，表示圆心为(2,0)，半径 r 3 的圆设 yxb，yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6.所以 yx 的最大值为2 6.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 角度三：距离型最值问题典题 4 在典题 2 条件下，求 x2y2 的最大值和最小值听前试做 x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知
9、识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 又因为圆心到原点的距离为 2 22，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 角度四：利用对称性求范围典题 5 设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0 的取值范围是_创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 听前试做 由题意可知 M 在直线 y1 上运动，设直线 y1 与圆 x2y21 相切于点 P(0,1)当 x00 即点
10、M 与点 P 重合时，显然圆上存在点 N(1，0)符合要求；当 x00 时，过 M 作圆的切线，切点之一为点 P，此时对于圆上任意一点 N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有 x01.结合图形可知，符合条件的 x0的取值范围为1,1答案：1,1创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(1)形如 ybxa的最值问题，可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题(如角度一)(2)形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解(如角度二)(3)形如 m(xa)2(yb)2 的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最
11、值问题(如角度三)(4)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解否则可用代数法转化为函数求最值(如角度四)创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 典题 6 已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 听前试做(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y)因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段 AP 中点
12、的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)在 RtPBQ 中，|PN|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等创 新 方 案
13、 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 已知点 P(2,2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4.故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(2)由(1)
14、可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心，2为半径的圆由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为13，故 l 的方程为 y13x83.又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为4 105，|PM|4 105，所以POM 的面积为165.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 方法技巧1求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解2解答圆的问题，应注意数形结合，充分利用圆的几何性质，简化运算3圆心在过切点且垂直于切线的直线上4圆心在任一弦的中垂线上5两圆相切时，切点与两圆心三点共线创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 易错防范求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线
