1、创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 考点一：直线与圆1(2015新课标全国卷)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|()A2 6B8 C4 6 D10创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解析：选 C 设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2EF200，D7EF500.解得D2，E4，F20.圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y22 6或 y22 6，M(0，22 6)，N(
2、0，22 6)或 M(0，22 6)，N(0，22 6)，|MN|4 6，故选 C.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 2(2014湖南高考)若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切，则 m()A21 B19 C9 D11解析：选 C 圆 C1 的圆心是原点(0,0)，半径 r11，圆 C2：(x3)2(y4)225m，圆心 C2(3,4)，半径 r2 25m，由两圆相外切，得|C1C2|r1r21 25m5，所以 m9.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 3(2015湖北高考)如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴
3、正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|2.(1)圆 C 的标准方程为_；(2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解析：(1)取 AB 的中点 D，连接 CD，则 CDAB.由题意|AD|CD|1，故|AC|CD|2|AD|2 2，即圆C 的半径为 2.又因为圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，所以圆心 C的坐标为(1，2)，故圆 C 的标准方程为(x1)2(y 2)22.(2)令(x1)2(y 2)22 中的 x0，解得 y 21，故B(0，21)直线 BC 的斜率为 21 2011，故切线的斜率为 1，
4、切线方程为 yx 21.令 y0，解得 x 21，故所求截距为 21.答案：(1)(x1)2(y 2)22(2)21创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 4(2014湖北高考)直线 l1：yxa 和 l2：yxb 将单位圆 C：x2y21 分成长度相等的四段弧，则 a2b2_.解析：由题意得，直线 l1 截圆所得的劣弧长为2，则圆心到直线 l1 的距离为 22，即|a|2 22 a21，同理可得 b21，则a2b22.答案：2创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 5(2014陕西高考)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准
5、方程为_解析：因为点(1,0)关于直线 yx 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为 1，于是圆 C 的标准方程为x2(y1)21.答案：x2(y1)21创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 6(2014山东高考)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为_解析：依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中 b0)，则圆C 的半径为 2b，圆心到 x 轴的距离为 b，所以 2 4b2b22 3，b0，解得 b1，故所求圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1
6、)24创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 考点二：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程与几何性质1(2015新课标全国卷)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解析：选 B 抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，椭圆中 c2，又ca12，a4，b2a2c212，从而椭圆的方程为x216y2121.抛物线 y28x 的准线为 x2，xAxB2，将 xA2 代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|
7、AB|2|yA|6.故选 B.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 2(2013新课标全国卷)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2 B2 2 C2 3D4创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解析：选 C 由题意知抛物线的焦点 F(2，0)，如图，由抛物线定义知|PF|PM|，又|PF|4 2，所以 xP3 2，代入抛物线方程求得 yP2 6，所以 SPOF12|OF|yP2 3.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 3(2015新课标全国卷)一个圆经过椭圆x216y2
8、41 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解析：由题意知 a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则m24r2，4m2r2，解得m32，r2254.所以圆的标准方程为x322y2254.答案：x322y2254创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 4(2015安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为 y2x的是()Ax2y241 B.x24 y21Cx
9、2y221 D.x22 y21创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解析：选 A 法一：由渐近线方程为 y2x，可得y2x，所以双曲线的标准方程可以为 x2y241 或y24x21，舍去法二：A 中的渐近线方程为 y2x；B 中的渐近线方程为y12x；C 中的渐近线方程为 y 2x；D 中的渐近线方程为y 22 x.故选 A.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 5(2015福建高考)若双曲线 E：x29 y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9 C5 D3解析：选 B 由题意知 a3，b
10、4，c5.由双曲线的定义有|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 6(2015天津高考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 y24 7x的准线上，则双曲线的方程为()A.x221y2281 B.x228y2211C.x23 y241 D.x24 y231创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解析：选 D 由双曲线的渐近线 ybax 过点(2，3)，可得3ba2.由双曲线的焦点(a2b2，0)在抛物线 y24 7x 的准线x 7上，可得a2b2 7.由解得
11、a2，b 3，所以双曲线的方程为x24 y231.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 7(2015湖南高考)若双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54 C.43 D.53创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解析：选 D 由双曲线的渐近线过点(3，4)，知ba43，b2a2169.又 b2c2a2，c2a2a2169，即 e21169，e2259，e53.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 8(2014安徽高考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0bb0)的离心率为 32，F 是
12、椭圆 E 的右焦点，直线 AF的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点当OPQ的面积最大时，求 l 的方程创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(1)设 F(c,0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca 32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24 y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2 代入x24 y21，得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，x1,28k2 4k234k21.创
13、新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21.所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 设4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0.所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y 72 x2 或y 72 x2.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 2(2015四川高考)如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是
14、 22，过点 P(0，1)的动直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学(1)求椭圆 E 的方程；(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点Q，使得|QA|QB|PA|PB|恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(1)由已知，点(2，1)在椭圆 E 上，因此 2a2 1b21，a2b2c2，ca 22.解得a2，b 2.所以椭圆 E 的方程为x24 y221.(2)当直线 l 与
15、x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C，D两点如果存在定点 Q 满足条件，则有|QC|QD|PC|PD|1，即|QC|QD|.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 所以点 Q 在 y 轴上，可设点 Q 的坐标为(0，y0)当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M，N 两点，则 M，N 的坐标分别为(0，2)，(0，2)由|QM|QN|PM|PN|，得|y0 2|y0 2|2121，解得 y01 或 y02.所以若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则点 Q 的坐标只可能为(0,2)下面证明：对任意直线 l，均有|QA|QB|PA|PB|.当直线 l 的斜
16、率不存在时，由上可知，结论成立创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 ykx1，点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立x24 y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以 x1x24k2k21，x1x222k21.因此 1x1 1x2x1x2x1x2 2k.易知，点 B 关于 y 轴对称的点 B的坐标为(x2，y2)创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 又 kQAy12x1 kx11x1k 1x1，kQBy22x2 kx21x2 k 1x2k 1x1，所
17、以 kQAkQB，即 Q，A，B三点共线，所以|QA|QB|QA|QB|x1|x2|PA|PB|.故存在与点 P 不同的定点 Q(0,2)，使得|QA|QB|PA|PB|恒成立创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 3(2015陕西高考)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图，AB 是圆 M：(x2)2(y1)252的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(1)过点(c,0)，(0，b
18、)的直线方程为 bxcybc0，则原点 O 到该直线的距离 dbcb2c2bca，由 d12c，得 a2b2 a2c2，解得离心率ca 32.(2)法一：由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y24b2.依题意，圆心 M(2,1)是线段 AB 的中点，且|AB|10.易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k2k114k2，x1x242k124b214k2.由 x1x24，得8k2k114k2 4，解得 k12
19、.从而 x1x282b2.于是|AB|1122|x1x2|52x1x224x1x2 10b22.由|AB|10，得10b22 10，解得 b23.故椭圆 E 的方程为x212y231.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 法二：由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y24b2.依题意，点 A，B 关于圆心 M(2,1)对称，且|AB|10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x214y214b2，x224y224b2，两式相减并结合 x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x1x2，所以 AB 的斜率 kABy1y2x1
20、x212.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 因此直线 AB 的方程为 y12(x2)1，代入得 x24x82b20.所以 x1x24，x1x282b2.于是|AB|1122|x1x2|52 x1x224x1x210b22.由|AB|10，得10b22 10，解得 b23.故椭圆 E 的方程为x212y231.创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 4(2014陕西高考)如图，曲线 C 由上半椭圆 C1：y2a2x2b21(ab0，y0)和部分抛物线 C2：yx21(y0)连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的离心率为 32.创 新 方 案 系
21、 列 丛 书新课标高考总复习数学(1)求 a，b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点 P，Q(均异于点 A，B)，若 APAQ，求直线 l 的方程创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 解：(1)在 C1，C2 的方程中，令 y0，可得 b1，且A(1，0)，B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右顶点设 C1 的半焦距为 c，由ca 32 及 a2c2b21 得 a2.a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆 C1 的方程为y24x21(y0)易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 yk(x1)(k0)，代入 C1 的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 设点 P 的坐标为(xP，yP)，直线 l 过点 B，x1 是方程(*)的一个根由根与系数的关系，得 xPk24k24，从而 yP 8kk24，点 P 的坐标为k24k24，8kk24.同理，由得点 Q 的坐标为(k1，k22k)创 新 方 案 系 列 丛 书新课标高考总复习数学 2kk24(k，4)，k(1，k2)APAQ，0，即2k2k24k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得 k83.经检验，k83符合题意，故直线 l 的方程为 y83(x1)
