1、课时素养评价 三十六利用二分法求方程的近似解 (15分钟25分)1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)f(b)0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.2.若函数f(x)在a,b上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)0,则()A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由f(a)f(b)0可知ff(b)0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断
2、.3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是()A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+)上单调递增,所以f(1)=-40,f(2)=ln 2-20,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.4.已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间0,2内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x0,2)的实数解x0在哪个较小的区间内.【解析】(1)因为f(0)=1
3、0,f(2)=-0,所以f(0)f(2)0,由此可得f(1)f(2)0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f=-0,所以f(1)f0,所以ff0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内. (20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.下列关于函数y=f(x),xa,b的叙述中,正确的个数为()若x0a,b且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;若x0是f(x)在a,b上的零点,则可用二分法求x0的近似值;函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.中x
4、0a,b且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故错误;由于x0两侧函数值不一定异号,故错误;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故错误.2.下列函数不宜用二分法求零点的是()A.f(x)=x3-1B.f(x)=ln x+3C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)20,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:x1.001.251.3751.50f(x)1.079
5、40.191 8-0.360 4-0.998 9则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为()A.1.125B.1.312 5C.1.437 5D.1.468 75【解析】选B.因为f(1.25)f(1.375)0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 50.1,因此1.312 5是一个近似解.【补偿训练】某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+
6、x-2,算得f(1)0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x1.8.那么他再取的x的4个值依次是.【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,8)【解析】选AD.设y1=lox,y2=4-x,则f(x)的
7、零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(
8、x)=x2+ax+b的图象与x轴只有一个交点,所以=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间0,1内的零点时,第一次经计算得f(0)0,f(1)0,可得其中一个零点x0,第二次应计算.【解析】因为f(0)0,所以f(0)f(0.5)0,f(1)0,证明a0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间0,1内有两个实根.【证明】因为f(1)0,所以3a+2b+c0,即3(a+b+c)-b-2c0.因为a+b+c=0,所以-b-2c0,则-b-cc,即ac.因为f(0)0,所以c0,则a0.在区间0,1内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a0,f(1)0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在0,1内有两个实根.
