1、课时素养评价十七导数与函数的单调性 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若在区间(a,b)内,f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有()A.f(x)0B.f(x)f(a)0.2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f(x)的图象是()【解析】选A.f(x)=2x+b,由于函数f(x)=x2+bx+c图象的顶点在第四象限,所以x=-0,得b0,解得x.故函数的单调递增区间为.4.(2020沧州高二检测)已知f(x)=a-2ln x(a0)在1,+)上为增函数,则a的取值范围为()A.0,+)B.(0,+)C.(1,+)D.1,+)【解析】选D.由
2、题意知f(x)=a-=0对任意的x1,+)恒成立,即ax2-2x+a0对任意的x1,+)恒成立,所以a=,因为y=x+在1,+)上是增函数,所以y=x+2,则01,所以a1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020和平高二检测)已知函数f(x)=-x2+3x-2ln x,则函数f(x)的单调递减区间为_,单调增区间为_.【解析】定义域为(0,+),令f(x)=-x+3-0,解得:x2或0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1),(2,+);单调递增区间为(1,2).答案:(0,1)和(2,+)6.如图所示的是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f(x)为函数f(x)的
3、导函数,则不等式xf(x)0;当x(-,)时,f(x)0.所以xf(x)0的解集为x|x-或0x.答案:x|x-或0x0,函数f(x)单调递增,当x(1,e)时,f(x)0x0或x-2,故f(x)的单调增区间为(0,+)和(-,-2).(2)由f(x)=(x2-ax)ex,xRf(x)=(2x-a)ex+(x2-ax)ex=x2+(2-a)x-aex.记g(x)=x2+(2-a)x-a,依题意知,当x-1,1时,g(x)0恒成立,结合g(x)的图象特征得即a,所以a的取值范围是. (15分钟30分)1.(5分)已知函数y=xf(x)的图象如图所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是
4、()【解析】选C.由题图可知,当x-1时,xf(x)0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的;当-1x0,所以f(x)0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当0x1时,xf(x)0,所以f(x)1时,xf(x)0,所以f(x)0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的.2.(5分)(多选题)已知函数f(x),g(x)在区间a,b上均有f(x)g(x),则在a,b上,下列关系式中正确的是()A.f(x)+f(b)g(x)+g(b)B.f(x)-f(b)g(x)-g(b)C.f(x)+g(a)g(x)+f(a)D.f(x)+g(a)g(x)+f(a)【解析】选BC.据题意,由f(x)
5、g(x)得f(x)-g(x)0,故F(x)=f(x)-g(x)在a,b上为减函数,由单调性知识知,在a,b上必有F(x)F(b),即f(x)-g(x)f(b)-g(b),移项整理得:f(x)-f(b)g(x)-g(b).同理F(x)F(a),f(x)-g(x)f(a)-g(a),移项整理得f(x)+g(a)g(x)+f(a).3.(5分)函数f(x)=的单调递减区间为_.【解析】因为f(x)=,因为定义域为(0,1)(1,+),所以f(x)0,即1.(1)若f(2)=0,求a的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.【解析】(1)由题意可得:f(x)=x-a+,故f(2)=2-a+=0,所以a=3
6、.(2)因为函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,其中a1,所以f(x)的定义域为(0,+),f(x)=x-a+=,令f(x)=0,得x1=1,x2=a-1.若a-1=1,即a=2时,f(x)=0,故f(x)在(0,+)上是增函数.若0a-11,即1a2时,由f(x)0得,a-1x0得,0x1.故f(x)在(a-1,1)上是减函数,在(0,a-1),(1,+)上是增函数,若a-11,即a2时,由f(x)0得,1x0得,0xa-1.故f(x)在(1,a-1)上是减函数,在(0,1),(a-1,+)上是增函数.综上可得:当a=2时,f(x)在(0,+)上是增函数;当1a2时,f(x)在(1
7、,a-1)上是减函数,在(0,1),(a-1,+)上是增函数.1.已知定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)1-2m,则实数m的取值范围是_.【解析】令F(x)=f(x)-x,则F(x)=f(x)-11-2m,则F(1-m)F(m),故1-m.故实数m的取值范围是.答案:2.(2020全国卷)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求c的取值范围;(2)设a0时,讨论函数g(x)=的单调性.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)2x+cf(x)-2x-c02ln x+1-2x-c0(*),设h(x)=2ln x+1-2x-c(x0),则有h(x)=-2=
8、,当x1时,h(x)0,h(x)单调递减,当0x0,h(x)单调递增,所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-21-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+)上恒成立,只需h(x)max0-1-c0c-1.(2)g(x)=(x0且xa),因此g(x)=,设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),则有m(x)=2(ln a-ln x),当xa时,ln xln a,所以m(x)0,m(x)是减函数,因此有m(x)m(a)=0,即g(x)0,所以g(x)是减函数;当0xa时,ln x0,m(x)是增函数,因此有m(x)m(a)=0,即g(x)0,所以g(x)是减函数,所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+)上是减函数,没有递增区间.