1、2013年高考模拟试题 理科数学 2013.5 本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。考试时间120分钟.注意事项： 1答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上 2第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上 3第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效第卷 (
2、选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（i是虚数单位）的实部是 （A） （B） （C） （D）【答案】B，所以实部是，选B.2集合若，则MN= （A） （B） （C） （D）【答案】D因为，所以，即，所以，即，所以，选D.3某商品的销售量y（件）与销售价格x（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为则下列结论正确的是（A）y与x具有正的线性相关关系（B）若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则（C）当销售价格为10元时，销售量为100件（D）当销售价格为10元时，销售量为10
3、0件左右【答案】D当销售价格为10元时, ，即销售量为100件左右，选D.4平面向量与的夹角为60，则（A） （B） （C）4 （D）12【答案】B因为，所以，所以，选B.5执行如图所示的程序框图，输出的结果是开始z10是否输出z结束第5题图（A）11 （B）12 （C）13 （D）14【答案】C第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，此时满足条件，输出，选C.6函数的大致图象为 (A)(B)(C)(D) 【答案】D因为函数为非奇非偶函数，所以排除A,C.函数的导数为由，得，此时或。当时，函数递增。当时，函数递减，所以是函数的极大值，所以选D.7某几何体的三视图如图（其中侧视图中
4、的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为24侧视图第7题图6正视图俯视图45（A） （B）（C） （D）【答案】A由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为2，高为5的圆柱的一半. 长方体的中,所以长方体的表面积为（去掉一个上底面）。半圆柱的两个底面积为，半圆柱的侧面积为，所以整个组合体的表面积为，选A. .8已知函数的最小正周期为，则（A）函数的图象关于点（）对称（B）函数的图象关于直线对称（C）函数的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称（D）函数在区间内单调递增【答案】C因为函数的周期，所以，所以。当时，所以A,B错误。将函数的图象向右平移个单位后得到，此时为奇函数，所
5、以选C.9双曲线与抛物线相交于A,B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（A） （B） （C） （D）【答案】B抛物线的焦点为，且，所以。根据对称性可知公共弦轴，且AB的方程为，当时，所以。所以，即，所以，即，所以，选B. 10若集合则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A，。若，则满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.11若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（A）4 （B）（C）2 （D）【答案】D函数的导数为，所以，即在处的切线斜率为，又，所以切点为，所以切线方程为，即，圆心到直线的
6、距离，即，所以，即。又，所以，即，所以的最大值是，选D.12已知定义在R上的函数对任意的都满足，当 时，若函数至少6个零点，则取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A 由得，所以函数的周期是2. 由。得，分别作出函数的图象，因为。所以若，由图象可知要使函数至少6个零点，则满足。此时。若，由图象可知要使函数至少6个零点，则满足，此时。所以取值范围是，选A. 2013年高考模拟试题理科数学 2013.5第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.13若，则 .【答案】由得，所以。14某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并把调查
7、结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从调查的1000人中抽出100人作电话询访，则（百元）月工资收入段应抽出 人. 【答案】15（百元）月工资收入段的频率为，所以，所以各组的频率比为，所以（百元）月工资收入段应抽出人。15已知奇函数则的值为 .【答案】-8因为函数为奇函数，所以，即。所以。16在区间上任取两数m和n，则关于x的方程有两不相等实根的概率为 .【答案】由题意知要使方程有两不相等实根，则，即。作出对应的可行域，如图直线，当时，所以，所以方程有两不相等实根的概率为。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或
8、演算步骤.17（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，.（）求B和C；（）若，求ABC的面积.18（本小题满分12分）某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：答对题目个数0123人数5102015根据上表信息解答以下问题：（）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；（）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.19（本小题满分12分）已知数列满足（为常数），成等差数列.（）求p的值及数列的通项公式；（）设数列满足，证明：.20（本
9、小题满分12分）DCABOABCDO第20题图如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使.（）求证：平面AODABCO；（）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.21（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率 ，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3,0）的直线交椭圆C于点A、B.（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围.22（本小题满分14分）已知函数.（）求函数的极大值.（）求证：存在，使；（）对于函数与定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得和都成立
10、，则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由. 2013年高考模拟试题 数学试题（理）参考答案及评分标准 2013.5说明：一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题
11、和填空题不给中间分.一、选择题：（每小题5分，满分60分）1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 7.(A) 8.(C) 9.(B) 10.(A) 11.(D) 12.(A)二、填空题：（每小题4分，满分16分）13. 14. 15 15.-8 16. 三、解答题：17. 解：（）由用正弦定理得 （1分） （2分） 即 （3分） （4分） .（5分） 又， 解得（6分）（）由（），由正弦定理， 得（8分） ABC的面积（9分） （12分）18解（）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则 （3分） ，（5分） 即两人答对题目个数之和为4或5的概率为 （6分
12、）（）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3. 则（7分） （8分） （9分） （10分）从而X的分布列为：X0123（11分）PX的数学期望（12分）19解：（）由得成等差数列，即得（2分）依题意知，当时，相加得（4分）又适合上式， （5分）故（6分）（）证明： （8分）若则即当时，有（10分）又因为（11分）故（12分）（）法二：要证 只要证（7分）下面用数学归纳法证明：当时，左边=12，右边=9，不等式成立； 当时，左边=36，右边=36，不等式成立.（8分）假设当时，成立. （9分）则当时，左边=43k+1=343k39k2，要证39k29（k+1）2 ，只要正3k2（k+1）2
13、，即证2k2-2k-10.（10分）而当k即且时，上述不等式成立.（11分）由可知，对任意，所证不等式成立.（12分）20（）在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点， AOD，BOC为等腰直角三角形， AOB=90,即OBOA.（1分） 取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=， 在RtBOH中，BH2=BO2+OH2=, 在BHD中，DH2+BH2=又DB2=3， DH2+BH2=DB2，DHBH.（2分） 又DHOA, OABH=H （3分） DH面ABCO，（4分） 而DH平面AOD，（5分） 平面AOD平面ABCO. （6分）（）解：分别以直线OA，OB为x轴和y轴，O为
14、坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.（7分）HABCDOyxz设平面ABD的一个法向量为由得即令则，取（9分）设为直线BC与平面ABD所成的角，则 （11分）即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为（12分）21解：（） （1分） 则椭圆方程为即 设则 （2分） 当时，有最大值为（3分） 解得，椭圆方程是（4分）（）设方程为 由 整理得.（5分） 由，得. （6分） 则,（7分）由点P在椭圆上，得化简得（8分）又由即将，代入得（9分）化简，得则,（10分）由，得联立，解得或（12分）22解：（）（1分） 令解得 令解得.（2分） 函数在（0,1）内单调递增，在上单调递减. （3分） 所以的极大值为 （4分）（）由（）知在（0,1）内单调递增，在上单调递减， 令 （5分） 取则 （6分）故存在使即存在使（7分） （说明：的取法不唯一，只要满足且即可）（）设 则 则当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增. 是函数的极小值点，也是最小值点, 函数与的图象在处有公共点（）.（9分） 设与存在“分界线”且方程为， 令函数 由，得在上恒成立， 即在上恒成立， ， 即， ，故（11分） 下面说明：， 即恒成立. 设 则 当时，,函数单调递增， 当时，,函数单调递减， 当时，取得最大值0，. 成立.（13分） 综合知且 故函数与存在“分界线”， 此时（14分）
