1、2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|x2+x20，集合，则AB=（）A（1，2）B（，1）（1，+）C（1，1）D（1，0）（0，1）2在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在等比数列an中，a1=1，a4=8，则a7=（）A64B32C16D124如果执行下面的程序框图，那么输出的结果s为（）A8B48C384D3845若实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值等于（）A0BC12D276一个几何体的三视
2、图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD7已知函数f（x）=sinwx+coswx（w0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于，则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+，kZBk+，k+，kZCk，k+，kZDk+，k+，kZ8已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为0，1上的增函数”是“f（x）为3，4上的减函数”的（）A既不充分也不必要的条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D充要条件9已知非零向量满足，则与的夹角为（）ABCD10过双曲线的右焦点且斜率为k的直线，与双曲线的右支只有一个公共点，则实数k的范围为（）A（，22，+）B0，2
3、CD2，211若PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，APD=60，若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为（）ABCD12已知椭圆，点A（c，b），右焦点F（c，0），椭圆上存在一点M，使得，且，则该椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设等差数列an的前n项和为Sn，若a1+a13=4，则S1314某年级480名学生在一次面米测试中，成绩全部介于13秒和18秒之间，将测试结果分成5组，如图为其频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在16，18的学生人数是15
4、进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得余数从下到上排列，得到89=1011001（2）这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的方法，称为“除k取余法”，那么用“除k取余法”把89化为七进制数为16当a时，关于x的不等式（exa）xex+2a0的解集中有且只有两个整数值，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在A
5、BC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为1，（c2a）cosB+bcosC=0（1）求角B的大小；（2）求ABC周长的取值范围18某社区对社区内50名70岁以上老人的身体健康状况和对平时锻炼身体的积极性进行了调查，统计数据如表所示：积极锻炼身体不积极锻炼身体合计健康状况良好18725健康状况一般61925合计242650（1）如果在被调查的老人中随机抽查一名，那么抽到积极锻炼身体的老人的概率是多少？抽到不积极锻炼身体且健康状况一般的老人的概率是多少？（2）试运用独立性检验思想方法判断能否有99%的把握说老人的身体健康状况与锻炼身体的积极性有关（参考如表）19已知四边形ABCD
6、为直角梯形，ADBC，ABBC，BC=2AB=4，AD=3，F为BC中点，EFAB，EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，使得平面ABFE平面EFCD，连接AD，BC，AC（1）求证：BE平面ACD；（2）求三棱锥的BACD体积20已知抛物线E：x2=2py（p0），其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称点为点B，直线AB与y轴交于点C，求OBC面积的最大值21已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，（aR）（1）当a=1时，求函数y=在点（1，0）处的
7、切线方程；（2）若在1，+）上不等式xf（x1）g（x）恒成立，求实数a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为=6cos（1）若l的参数方程中的t=时，得到M点，求M的极坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P（1，1），l和曲线C交于A，B两点，求选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+2|+|x1|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）m22m的解集为R，求实数m的取值范围2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解
8、析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|x2+x20，集合，则AB=（）A（1，2）B（，1）（1，+）C（1，1）D（1，0）（0，1）【考点】交集及其运算【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可【解答】解：A=x|x2+x20=x|（x+2）（x1）0=x|2x1，=x|1x1且x0，则AB=（1，0）（0，1），故选：D2在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】
9、解：在复平面内，复数=对应的点位于第一象限故选：A3在等比数列an中，a1=1，a4=8，则a7=（）A64B32C16D12【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出a7的值【解答】解：在等比数列an中，a1=1，a4=8，即8=q3，解得q=2，a7=126=64故选：A4如果执行下面的程序框图，那么输出的结果s为（）A8B48C384D384【考点】程序框图【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出结论【解答】解：根据题意可知该循环体运行 4次第一次：s=2，i=410，第二次：s=8，i=610，第三次：
10、s=48，i=810，第四次：s=384，s=1010，结束循环，输出结果S=384，故选：C5若实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值等于（）A0BC12D27【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为y=+，由图可知，当直线y=+过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大此时z=3+33=12故选：C6一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】该几
11、何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，即可求出体积【解答】解：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，所以，其体积为：2（11）=，故选：A7已知函数f（x）=sinwx+coswx（w0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于，则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+，kZBk+，k+，kZCk，k+，kZDk+，k+，kZ【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【分析】先把函数化成y=Asin（x+）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w0）f（
12、x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于，恰好是f（x）的一个周期，=，w=2f（x）=2sin（2x+）故其单调增区间应满足2k2x+2k+，kZkxk+，故选C8已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为0，1上的增函数”是“f（x）为3，4上的减函数”的（）A既不充分也不必要的条件B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件D充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇偶性与单调性的综合【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为1，0上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为3，4上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为3，4上的减函数结合周期性即
13、可得出f（x）为1，0上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为0，1上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）为0，1上的增函数，则f（x）为1，0上是减函数，又f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且3，4与1，0相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为3，4上的减函数，故充分性成立若f（x）为3，4上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为1，0上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为0，1上的增函数，故必要性成立综上，“f（x）为0，1上的增函数”是“f（x）为3，4上的减函数”的充要条件故选D9已知非
14、零向量满足，则与的夹角为（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】根据题意，得出=0，；求出|=，利用平面向量数量积的夹角公式求出夹角的大小【解答】解：非零向量满足，=，=0，；画出图形如图所示；|=，（+）（）=12=2，cos+，=，与的夹角为故选：C10过双曲线的右焦点且斜率为k的直线，与双曲线的右支只有一个公共点，则实数k的范围为（）A（，22，+）B0，2CD2，2【考点】双曲线的简单性质【分析】渐近线方程y=2x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围【解答】解：双曲线的渐近线方程y=2x，当过焦点的
15、两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是2，2两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点此直线的斜率的取值范围2，2故选：D11若PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，APD=60，若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【分析】设球心为O，求出AD=2，BD=2，设ACBD=E，则BE=，OP=OB=R，设OE=x，则OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH平面PAD于H点，H是垂足，PO2=OH2+PH2=1+（x）
16、2，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积【解答】解：设球心为O，如图，PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，APD=60，AD=2，BD=2，设ACBD=E，则BE=，点P，A，B，C，D都在同一个球面上，OP=OB=R，设OE=x，在RtBOE中，OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH平面PAD于H点，H是垂足，O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，OH=1，在RtPOH中，PO2=OH2+PH2=1+（x）2=x22+4，2+x2=x22+4，解得x=，R=，此球的表面积S=4R2=4=故选：B12已知椭圆，点A（c，b），右焦点F
17、（c，0），椭圆上存在一点M，使得，且，则该椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】设M（x，y），由cx+by=c2，由，cybx=bc由得x=，y=，把代入椭圆得a4c2+4c6=a62c3=b3+bc2，c3b3=bc2c3，（cb）（b2+bc+2c2）=0b=c【解答】解：设M（x，y），即OAMFcx+by=c2，.，因为，共线，cybx=bc由得x=，y=，把代入椭圆得a4c2+4c6=a62c3=b3+bc2，c3b3=bc2c3，（cb）（b2+bc+2c2）=0b=ca=，椭圆的离心率e=故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设等
18、差数列an的前n项和为Sn，若a1+a13=4，则S1326【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列通项公式直接求解【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a1+a13=4，S13=故答案为：2614某年级480名学生在一次面米测试中，成绩全部介于13秒和18秒之间，将测试结果分成5组，如图为其频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在16，18的学生人数是216【考点】频率分布直方图【分析】先求出成绩在16，18的学生的频率，由此能求出成绩在16，18的学生人数【解答】解：频率分布直方图中，从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，成
19、绩在16，18的学生的频率为： =0.45，成绩在16，18的学生人数是：4800.45=216故答案为：21615进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得余数从下到上排列，得到89=1011001（2）这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的方法，称为“除k取余法”，那么用“除k取余法”把89化为七进制数为155（7）【考点】进位制【分析】根据题意，依据题意中“除k取余法
20、”的算法，分析可得89=127+5，12=17+5，1=07+1，则有89=155（7），即可得答案【解答】解：根据题意，89=127+5，12=17+5，1=07+1，则89=155（7），即89化为七进制数为155（7），故答案为：155（7）16当a时，关于x的不等式（exa）xex+2a0的解集中有且只有两个整数值，则实数a的取值范围是（，）【考点】指、对数不等式的解法【分析】关于x的不等式（exa）xex+2a0可化为（x1）exa（x2）；设f（x）=（x1）ex，g（x）=a（x2），其中a；利用导数判断单调性、求出f（x）的最值，画出f（x）、g（x）的图象，结合图象得出不等式
21、的解集中有且只有两个整数时a的取值范围【解答】解：当a时，关于x的不等式（exa）xex+2a0可化为ex（x1）a（x2）0，即（x1）exa（x2）；设f（x）=（x1）ex，g（x）=a（x2），其中a；f（x）=ex+（x1）ex=xex，令f（x）=0，解得x=0；x0时，f（x）0，f（x）单调递增；x0时，f（x）0，f（x）单调递减；x=0时f（x）取得最小值为f（0）=1；g（x）=a（x2）是过定点（2，0）的直线；画出f（x）、g（x）的图象如图所示；要使不等式的解集中有且只有两个整数值，a，当x=0时y=1，满足条件，0是整数解；当x=1时，f（1）=2e1；当x=2时
22、，f（x）=3e2，此时=a，不等式有两个整数解为1和0，实数a的取值范围是（，）故答案为：（，）三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为1，（c2a）cosB+bcosC=0（1）求角B的大小；（2）求ABC周长的取值范围【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算【分析】（1）根据题意，由正弦定理可以将（c2a）cosB+bcosC=0整理变形可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，又由三角函数的和差公式可得2sinAcosB=sin（B+C），进而可得2sinAco
23、sB=sinA，即cosB=，由B的范围可得B的值（2）根据题意，由正弦定理可得b的值，同时可得a+c=2（sinA+sinC），由三角函数的和差公式变形可得a+c=2sin（C+），结合C的范围，计算可得a+c的范围，由b的值，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，即2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC变形可得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC2sinAcosB=sin（B+C）在ABC中，sin（B+C）=sinA2sinAcosB=sinA，即cosB=，
24、则B=；（2）根据题意，由（1）可得B=，sinB=，又由正弦定理b=2RsinB=，a=2RsinA=2sinA，c=2RsinC=2sinC；则a+c=2（sinA+sinC）=2sin（C）+sinC=2cosC+sinC=2sin（C+），又由0C，则C+，则有sin（C+）1，故a+c2，则有2a+b+c3，即ABC周长的取值范围为（2，318某社区对社区内50名70岁以上老人的身体健康状况和对平时锻炼身体的积极性进行了调查，统计数据如表所示：积极锻炼身体不积极锻炼身体合计健康状况良好18725健康状况一般61925合计242650（1）如果在被调查的老人中随机抽查一名，那么抽到积极
25、锻炼身体的老人的概率是多少？抽到不积极锻炼身体且健康状况一般的老人的概率是多少？（2）试运用独立性检验思想方法判断能否有99%的把握说老人的身体健康状况与锻炼身体的积极性有关（参考如表）【考点】独立性检验【分析】（1）根据数表，计算对应的概率值即可；（2）根据数表，计算观测值，对照临界值表即可得出结论【解答】解：（1）如果在被调查的老人中随机抽查一名，那么抽到积极锻炼身体的老人的概率是P1=，抽到不积极锻炼身体且健康状况一般的老人的概率是P2=；（2）根据数表，计算观测值=11.53810.828，对照数表知，有99%的把握认为老人的身体健康状况与积极锻炼身体有关19已知四边形ABCD为直角梯
26、形，ADBC，ABBC，BC=2AB=4，AD=3，F为BC中点，EFAB，EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，使得平面ABFE平面EFCD，连接AD，BC，AC（1）求证：BE平面ACD；（2）求三棱锥的BACD体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结AF交BE于O，则O为AF中点，设G为AC中点，连结OG，DG，推导出四边形DEOG为平行四边形，则BEDG，由此能证明BE平面ACD（2）点C到平面ACD的距离和点F到平面ACD的距离相等，均为2，从而三棱锥的BACD体积VBACD=VEACD=VCADE，由此能求出结果【解答】证明：（1）连结A
27、F交BE于O，则O为AF中点，设G为AC中点，连结OG，DG，则OGCF，且OG=CF由已知DECF，且DE=CFDEOG，且DE=OG，四边形DEOG为平行四边形EODG，即BEDGBE平面ACD，DG平面ACD，BE平面ACD解：（2）CFDE，CF平面ACD，点C到平面ACD的距离和点F到平面ACD的距离相等，均为2三棱锥的BACD体积VBACD=VEACD=VCADE=20已知抛物线E：x2=2py（p0），其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称点为点B，直
28、线AB与y轴交于点C，求OBC面积的最大值【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程【分析】（1）过点F且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得y1+y2+p=8，即可求抛物线C的方程；（2）求出直线AB的方程是y=x+1，C（0，1），可得SOBC=|，即可求OBC面积的最大值【解答】解：（1）由题可知F（0，），则该直线方程为：y=x+，代入x2=2py（p0）得：x22pxp2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=2p，|MN|=8，y1+y2+p=8，即3p+p=8，解得p=2抛物线的方程为：x2=4y；（2）设A（t，），则E在点A处的切线方程为
29、y=x，P（，0），B（，），直线AB的方程是y=x+1，C（0，1）SOBC=|，当且仅当t=2时，取得等号，所以OBC面积的最大值为21已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，（aR）（1）当a=1时，求函数y=在点（1，0）处的切线方程；（2）若在1，+）上不等式xf（x1）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）当a=1时，求导数，求出切线的斜率，即可求函数y=在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数G（x）=a（x2x）lnx，且G（1）=0，分类讨论，即可，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=1
30、时，函数y=，y=，x=1时，y=1，函数y=在点（1，0）处的切线方程为y=x1；（2）设函数G（x）=a（x2x）lnx，且G（1）=0G（x）=当a0时，有G（2）=2aln20，不成立，当a0时，（i）a1时，G（x）=，当x1时，G（x）0所以G（x）在（0，+）上是单调增函数，所以G（x）G（1）=0（ii）0a1时，设h（x）=2ax2ax1，h（1）=a10，所以存在x0，使得x（1，0）时，h（x）0，G（x）0，G（x）G（1）=0不成立综上所述a1选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），
31、曲线C的极坐标方程为=6cos（1）若l的参数方程中的t=时，得到M点，求M的极坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P（1，1），l和曲线C交于A，B两点，求【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）t=代入直线l的参数方程求出M（0，2），从而求出点M的极坐标，由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得，由此利用韦达定理能求出的值【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），l的参数方程中的t=时，得到M点，点M的直角坐标为M（0，2），点M的极坐标为M（2，），曲线C的极坐标方程为=6cos，即2=6cos，
32、曲线C的直角坐标方程为x26x+y2=0（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得：，则，=选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+2|+|x1|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）m22m的解集为R，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，问题转化为3m22m，解出m即可【解答】解：（1）由|x+2|+|x1|5得：可得：x3或，可得x或，可得x2解得：x2或x3，故不等式的解集是x|x2或x3；（2）|x+2|+|x1|m22m，若xR，使得不等式的解集为R，|x+2|+|x1|3，当2x1时取等号，可得3m22m，解得：1m3实数m的取值范围：1，32017年4月11日