1、海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学（文科） 2015.1 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）（2）如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则（ ）（A）（B）（C）（D）（3）已知直线，. 若，则实数的值是（ ）（A）或（B）或（C）（D）（4）当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） （A）（B）（C）（D）（5）为了解某年级女生五十米短跑情
2、况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（ ） 78861891578（A）（B）（C）（D）（6）已知函数. 命题 ，函数是偶函数；命题，函数在定义域内是增函数. 那么下列命题为真命题的是（ ） （A）（B）（C）（D）（7）某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为. 那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ） （A）（B）（C）（D）（8）在正
3、方体中，点为底面上的动点. 若三棱锥的表面积最大，则点位于（ ）（A）点处（B）线段的中点处（C）线段的中点处（D）点处二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）抛物线的焦点坐标是_ （10）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则 .（11）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为_. （12）设不等式组表示的平面区域为. 则区域上的点到坐标原点的距离的最小值是_ _ _ （13）在等比数列中，若，则公比_；当_时，的前项积最大. （14）已知. 若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（1
4、5）（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示.（）写出及图中的值；（）求在区间上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）某中学在高二年级开设大学先修课程线性代数，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（）求抽取的5人中男、女同学的人数；（）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（）考核分答辩和笔试两项. 5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 1
5、21，119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，试比较与的大小. （只需写出结论） （17）（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱中， 为正方形，是菱形，平面平面.（）求证：平面；（）求证：；（）设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由.（18）（本小题满分13分）已知椭圆.（）求的离心率及长轴长；（）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线交椭圆于两点. 问：是否存在直线使得三点共线（为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由.（19）（本小题满分13分）已知函数.（）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（）当时，求证：；（）问
6、集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）（20）（本小题满分14分）数列的前项和为，且满足，（为常数，）.（）若，求；（）若数列是等比数列，求实数的值.（）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（文）答案及评分参考 2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）D （5）B （6）C （7）C （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9） （10）3 （11
7、） （12） （13）；4 （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）的值是. 2分的值是. 5分（）由（）可知：.因为 ，所以 . 7分所以 当，即时，取得最大值； 10分当，即时，取得最小值. 13分（16）（共13分）解：（）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为. 4分（）记3名男同学为，2名女同学为. 从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有，共10个. 6分用表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则中的结果有6个，它们是：. 8分所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率. 10分（）. 13分（17）（共14分）证明：（）在菱形中，
8、.因为 平面，平面， 所以 平面. 3分（）连接. 在正方形中，. 因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 5分因为 平面， 所以 . 6分在菱形中，.因为 平面，平面，所以 平面. 8分因为 平面， 所以 . 10分（）四点不共面. 理由如下： 11分因为 分别是的中点，所以 .同理可证：.因为 平面，平面，平面，平面， 所以 平面平面.因为 平面，所以 平面，即四点不共面. 14分（18）（共13分）解：（）由题意可知椭圆的标准方程为：，则.所以 椭圆的长轴长为. 2分因为 ，所以 ，即的离心率为. 4分（）若三点共线，由是线段的垂直平分线可得：. 6分由（）可得，设. 7分所以 .
9、 又因为 ， 10分由可得： （舍），或 11分当时，直线的方程为，显然满足题意.所以 存在直线使得三点共线，直线的方程为. 13分（19）（共13分）（）解：. 1分因为 切线过原点，所以 . 3分解得：. 4分（）证明：设，则. 令，解得. 6分在上变化时，的变化情况如下表-+ 所以 当时，取得最小值. 8分 所以 当时，即. 9分（）解：当时，集合的元素个数为0； 当时，集合的元素个数为1；当时，集合的元素个数为2；当时，集合的元素个数为3. 13分（20）（共14分）解：（）因为 ， 所以 ，. 因为 ， 所以 ，即. 2分所以 .所以 数列是以1为首项，3为公差的等差数列.所以 .
10、4分（）若数列是等比数列，则. 由（）可得：. 6分 解得：. 当时，由得：. 显然，数列是以1为首项，1为公比的等比数列. 所以 . 7分（）当时，由（）知：. 所以 ，即数列就是一个无穷等差数列. 所以 当时，可以得到满足题意的等差数列. 当时，因为 ，即， 所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列. 所以 .下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列.假设存在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为. 设数列的公差为.当时，.所以 数列是各项均为正数的递减数列.所以 .因为 ，所以 当时，这与矛盾.当时，令，解得：. 所以 当时，恒成立.所以 数列必然是各项均为负数的递增数列.所以 .因为 ，所以 当时，这与矛盾.综上所述，是唯一满足条件的的值. 14分