1、第八章8.68.6.1A级基础过关练1一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A相交B异面C相交或异面D平行【答案】C【解析】如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面2如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A45B60C90D120【答案】B【解析】连接A1B，BC1.E，F，G，H分别是AA1，AB，BB1，B1C1的中点，A1BEF，BC1GH.
2、A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角(或其补角)连接A1C1知，A1BC1为正三角形，故A1BC160.3(2020年株洲期末)一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCDBAB与CD相交CABCDDAB与CD所成的角为60【答案】D【解析】将展开图还原成正方体如右图ABDE，CDE(或其补角)是AB与CD所成角CDDECE，CDE60.在原来的正方体中AB与CD所成的角为60.故选D4在下列图形中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()ABCD【答案】B【解析】图中，直线GHMN；
3、图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG(图略)，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面故选B5如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN()A3B4C5D6【答案】C【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，MPN即异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN5.6(2020年兰州期末)已知正四棱锥P-ABCD，PA2，AB，M是侧棱PC的中点，且BM，则异面直线PA与BM所成角为_
4、【答案】45【解析】如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则OMB为异面直线PA与BM所成角由O，M分别为AC，PC中点，得OMPA1.在RtAOB中，易得OBABtan451.又BM，即OB2OM2BM2，所以OMB为直角三角形，且OMB45.7如图，已知正方体ABCD-ABCD.(1)BC与CD所成的角为_；(2)AD与BC所成的角为_【答案】(1)60(2)45【解析】连接BA，则BACD.连接AC，则ABC(或其补角)为BC与CD所成的角由ABC为正三角形，可知ABC60.由ADBC，可知CBC(或其补角)为AD与BC所成的角，易知CBC45.8在正方体ABCD-A1B1C1D1中(
5、1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图所示，连接B1C，AB1.由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角(或其补角)AB1ACB1C，B1CA60，即A1D与AC所成的角为60.(2)如图所示，连接BD，交AC于O.易知BDEF，ACA1C1，AOB(或其补角)为A1C1与EF所成的角ACBD，AOB90，即A1C1与EF所成角为90.9在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小解：如图所示
6、，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OGB1D，EFA1C1，GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.B级能力提升练10在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若ABBB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()A60B75C90D105【答案】C【解析】设BB11，如图，延长CC1至C2，使C1C2CC11，连接B1C2，则B1C2BC1，所以AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)连接AC2，因为AB1，B1C2，AC2，所以ACABB1C，则
7、AB1C290.11(多选)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是()ACC1与B1E是异面直线BC1C与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60【答案】ABD【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，即AE与B1C1所
8、成的角为90，D错误12(2019年江西师大附中月考)已知a和b是成60角的两条异面直线，则过空间一点且与a，b都成60角的直线共有()A1条B2条C3条D4条【答案】C【解析】把a平移至a与b相交，其夹角为60，60角的补角的平分线c与a，b成60角，过空间这一点作直线c的平行线即满足条件在60角的“平分面”上还有两条满足条件故选C13(2018年新课标)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()ABCD【答案】C【解析】如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD
9、为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角)因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1.于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C14如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确结论的序号都填上)【答案】【解析】中AM与CC1是异面直线；中AM与BN是异面直线；易知正确15在四面体
10、A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，求EF的长度解：如图，取BC中点O，连接OE，OF.OEAC，OFBD，OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角而AC，BD所成的角为60，EOF60或EOF120.当EOF60时，EFOEOF；当EOF120时，取EF的中点M，连接OM，则OMEF，EF2EM2.16如图所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值解：取AC的中点F，连接EF，BF.在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EFCD所以BEF
11、(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角在RtABC中，BC，ABAC，所以ABAC1.在RtEAB中，AB1，AEAD，所以BE.在RtAEF中，AFAC，AE，所以EF.在RtABF中，AB1，AF，所以BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.C级探索创新练17如图，三棱锥A-BCD中，ACBD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AEEBCFFDm(m0)，设为异面直线EF和AC所成的角，为异面直线EF和BD所成的角，试求的值解：过点F作MFBD，交BC于点M，连接ME，则CMMBCFFDm.又因为AEEBCFFDm，所以CMMBAEEB所以EMAC所以MEF，MFE.所以AC与BD所成的角为EMF.又因为ACBD，所以EMF90.所以90.