1、八等比数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分) 1.已知等比数列an中,a3a13=16,则a8的值等于()A.4 B.8 C.4 D.8【解析】选C.因为=a3a13=16,所以a8=4.2.已知等比数列满足a5+a8=2,a6a7=-8,则q3=()A.- B.-2C.-或-2 D.2【解析】选C.由等比数列的性质可知,a5a8=a6a7=-8,又因为a5+a8=2,所以a5=4,a8=-2,或a5=-2,a8=4,所以q3=-2或-.3.(2020全国卷)设an是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=()A.12 B.24 C.
2、30 D.32【解析】选D.设等比数列的公比为q,则a1+a2+a3=a1=1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.4.设an是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3a30=230,那么a3a6a9a30等于() A.210 B.220 C.216 D.215【解析】选B.设A=a1a4a7a28,B=a2a5a8a29,C=a3a6a9a30,则A,B,C成等比数列,公比为q10=210,由条件得ABC=230,所以B=210,所以C=B210=220.5.在等比数列中,a4,a1
3、2是方程x2+3x+1=0的两根,则a8等于()A.1 B.-1 C.1 D.不能确定【解析】选B.因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4+a12=-3,a4a12=1,所以a40,a120).因为a1+a2=2,所以a1+a1q=2,即a1=.又因为a3+a4+a5=64,所以a3(1+q+q2)=64,即a3=.联立,解得q=2,a1=1,故an=(nN*).10.在等比数列an(nN*)中,a11,公比q0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an;(3)试比较an与Sn的
4、大小.【解析】(1)因为bn=log2an,所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2 =log2q(q0)为常数,所以数列bn为等差数列且公差d=log2q.(2)因为b1+b3+b5=6,所以(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,即b3=2.又因为a11,所以b1=log2a10,又因为b1b3b5=0,所以b5=0,即即解得因此Sn=4n+(-1)=.又因为d=log2q=-1,所以q=,b1=log2a1=4,即a1=16,所以an=(nN*).(3)由(2)知,an=0,当n9时,Sn=0,所以当n9时,anSn.又因为a1=16,a2=8,a3=4,a4
5、=2,a5=1,a6=,a7=,a8=,S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4,所以当n=3,4,5,6,7,8时,anSn.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在数列an中,a1=2,当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an-1,则a12等于()A.32 B.34 C.66 D.64【解析】选C.依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a125=64,a12=a11+2=66.2.等差数列的首项为1,公差不为0,若a2,a3,a6成等比数列,则数列的前8项
6、的和S8为()A.64 B.22 C.-48 D.-6【解析】选C.等差数列的首项为1,设公差为d(d0).若a2,a3,a6成等比数列, 则=a2a6,即=,解得d=-2, 所以的前8项和为S8=81+=-48. 3.已知等比数列an满足an0,且a5a2n-5=(n3),则当n3时,log2a1+ log2a3+log2a2n-1等于()A.2n B.2n2 C.n2 D.n【解析】选C.log2a1+log2a3+log2a2n-1=log2(a1a3a2n-1)=log2=log2=log2=log2=n2.4.等比数列an的各项均为正数,已知向量a=(a4,a5),b=(a7,a6)
7、,且ab=4,则log2a1+log2a2+log2a10=()A.12 B.10 C.5 D.2+log25【解析】选C.向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且ab=4,所以a4a7+a5a6=4,由等比数列的性质可得:a1a10=a4a7=a5a6=2,则log2a1+log2a2+log2a10=log2(a1a2a10)=log2(a1a10)5=log225=5.二、填空题(每小题5分,共20分)5.在3和一个未知数间填上一个数,使这三个数成等差数列,若中间项减去6则成等比数列,则此未知数是_.【解析】设此三数为3,a,b,则解得或所以这个未知数为3或27.答案:3或276.
8、在和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为_.【解析】设插入的3个数依次为a,b,c,即,a,b,c,8成等比数列,由等比数列的性质可得b2=ac=8=4,因为a2=b0,所以b=2(负值舍去).所以这3个数的积为abc=42=8.答案:87.数列an的首项为1,数列bn为等比数列且bn=,若b10b11=2,则a21=_.【解题指南】解答本题首先要注意b1b2b3b20=a21,另外要注意根据b10b11=2用等比数列性质求b1b2b3b20.【解析】因为bn=,所以b1=,b2=,b3=,b20=.以上各式相乘,得b1b2b3b20=a21,因为数列bn为等比
9、数列,所以b1b20=b2b19=b3b18=b10b11=2,所以a21=b1b2b3b20=210=1 024.答案:1 0248.在等比数列an中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+=_.【解析】因为a7+a8+a9+a10=,a8a9=a7a10=-,所以+=-.答案:-【一题多解】因为a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,所以=-,即+=-.又a7a10=a8a9,所以+=-.所以+=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(nN*).(1)求a1,a2,a3的值.(2)设bn=an+3,证明数列bn为等
10、比数列,并求通项公式an.【解析】(1)由已知,当n=1时,a1=S1=2a1-31,解得a1=3,当n=2时,S2=2a2-32=a1+a2,解得a2=9,当n=3时,S3=2a3-33=a1+a2+a3,解得a3=21.(2)因为Sn=2an-3n,所以=2-3(n+1),两式相减得=2an+3,所以=2,又因为b1=a1+3=6,所以bn是首项为6,公比为2的等比数列,bn=6,所以an=bn-3=6-3=3(2n-1).【补偿训练】 设Sn为数列an的前n项和,Sn=kn2+n,nN*,其中k是常数.(1)求a1及an;(2)若对于任意的mN*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值
11、.【解析】(1)由Sn=kn2+n,得a1=S1=k+1.当n2时,an=Sn-Sn-1=2kn-k+1.经验证,n=1时,上式也成立,所以an=2kn-k+1.(2)因为am,a2m,a4m成等比数列,所以=ama4m,即(4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),整理得mk(k-1)=0.因为对任意的mN*成立,所以k=0或k=1.10.等差数列an的前n项和为Sn,已知S3=,且S1,S2,S4成等比数列,求an的通项公式.【解析】设an的公差为d.由S3=,得3a2=,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列,得=S1S4.又S1=a2-d,S2=2a2-d,
12、S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时Sn=0,不符合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0,或d=2.因此an的通项公式为an=3或an=2n-1(nN*).11.已知数列an的前n项和Sn=3n2+5n,数列bn中,b1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数c,使得对任意的正整数n(nN*),an+logc bn恒为常数m?若存在,求出常数c和m的值;若不存在,请说明理由.【解题指南】先求出an与bn,假设存在c与m,利用n的任意性建立c,m的方程,判断解是否存在.【解析】因
13、为Sn=3n2+5n,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+2,而a1=S1=8适合上式.所以an=6n+2,由64bn+1-bn=0得=,所以bn是首项为8,公比为8-2的等比数列.所以bn=8(8-2)n-1=83-2n.假设存在常数c和m,使an+logc bn=m恒成立,则6n+2+logc 83-2n=m,即(6-2logc 8)n+(2+3logc 8)=m,对任意nN*恒成立.所以解得所以存在常数c=2,使得对任意nN*,恒有an+logcbn=11.【补偿训练】设关于x的二次方程anx2-x+1=0(n=1,2,3,)有两根和,且满足6-2+6=3.(1)试用an表示.(2)求证:是等比数列.(3)当a1=时,求数列an的通项公式及项的最值.【解析】(1)由根与系数的关系得代入6(+)-2=3得-=3,所以=an+.(2)因为=an+,所以-=.若an=,则方程anx2-x+1=0可化为x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0,此时=(-2)2-4230,所以an,即an-0,所以是公比为的等比数列.(3)当a1=时,a1-=,所以是首项为,公比为的等比数列,所以an-=,所以an的通项公式为an=+,n=1,2,3,.由函数y=在(0,+)上单调递减知当n=1时,an的值最大,最大值为a1=.