1、专题03 空间几何体的表面积与体积（测试时间：120分钟 满分：150分）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V1和V2,则V1V2=()A.13B.11C.21D.31解析:V1V2=(Sh)=31.答案:D2.将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的()A.B.C.D.答案:B3.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于()A.6B.6C.3D.6解析:圆台的两底面半径分别是1,2,高为2,则母线长为,则其侧面积等
2、于(1+2)=3.答案:C4.(2015福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A. 8+2B.11+2C.14+2D.15 答案:B5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A.B.C.D.解析:设正方形的边长为a,圆柱的底面圆的半径为r,则2r=a,r=,所以圆柱的底面积为,侧面积为a2,全面积与侧面积的比是.答案:D6.一个正方体内接于表面积为4的球,则正方体的表面积等于()A.4B.8C.8D.8解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4R2=4,R=1.又正方体内接于球,x=2R=2,x=,S正=6x2=6=8.答案:B7.
3、有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为()A.a3B.a3C.a3D.a3解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a3.答案:C8.平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为()A.B.4C.4D.6解析: 9.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A.9B.10C.11D.12答案:D10.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为,则球的体积为()A.B.C.8D.解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为R3=.答案:D
4、11.(2015安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.1+2C.2+D.2解析:由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD平面BCD,ABD与BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AOCO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此ABC与ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得SABC=SACD=,SABD=SBCD=1,所以四面体的表面积为2+.答案:C12.(2016浙江嘉兴一中高二期中)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是()答案:C第卷（共9
5、0分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为.解析:由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为r,高为h,则解得故它的体积为12.答案:14.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为.解析:S柱=2+2a=a2,S锥=+a=a2.S柱S锥=21.答案:2115.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是.16.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之
6、间),则圆台的体积为.解析:作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32+42)7=.答案:三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.解:,即,r=1.S底=2r2=2,S侧=2rh=2.S=S底+S侧=2+2=(2+2).18.已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积.解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,故三棱锥V-ABC的表面积为3SV
7、BC+SABC=3+3=3(). 19.已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30,求正四棱锥的侧面积和表面积.解:如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成RtPOE.OE=2 cm,OPE=30,PE=2OE=4 cm.因此S侧=4PEBC=444=32(cm2),S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).20.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,BAC=120,求此球的表面积.解:设球心为O,球半径为R,ABC外接圆的圆心为M,21.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=r2h,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,V圆锥=r2h.球的半径为r,V球=r3.又h=2r,V圆锥V球V圆柱=(r2h)=(2r3)=123.22.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.解: