1、单元素养检测(二)(第八章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知单位向量a与b的夹角为60,则a(a+2b)=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为单位向量a与b的夹角为60,所以a(a+2b)=a2+2ab=1+211cos 60=2.2.(2019全国卷)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故=2.3.已知两个非零向量a,b满足|a+b|
2、=|a-b|,则下面结论正确的是()A.abB.a=bC.abD.a+b=a-b【解析】选C.因为两个非零向量a,b,满足|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,展开得到ab=0,所以ab.4.函数f(x)=4sin xcos xcos 2x的最大值是()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.因为f(x)=4sin xcos xcos 2x=2sin 2xcos 2x=sin 4x.所以当4x=2k+时,f(x)max=1.5.(2018全国卷)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0【解析】选B.因为|a|=1,ab=-1,所以
3、a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.6.若,均为锐角,sin =,sin=,则cos =()A.B.C.或D.-【解析】选B.因为为锐角,sin =,所以45且cos =,因为sin=,且,所以+,所以cos(+)=-,则cos =cos (+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-+=.7.已知平面上四个互异的点A,B,C,D满足(-)(2-)=0,则ABC的形状一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形【解题指南】由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式,再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.【解析】选C.设E为BC边的中点,由(-
4、)(2-)=0,得(+)=0,又+=2,所以2=0,所以在ABC中,BC垂直于BC的中线AE,所以ABC是等腰三角形.【补偿训练】若+|2=0,则ABC为()A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.0=+|2=(+)=,所以,所以BAC=90.8.在ABC中,AB=,AC=2,E是边BC的中点.O为ABC所在平面内一点且满足=,则的值为()A.B.1C.D.【解析】选D.因为E为BC中点,所以=所以=+.因为=,所以AOB和AOC为等腰三角形,所以=cos OAB=,同理可得=.所以=+=+1=.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题
5、给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知单位向量a与b共线,则a(a+b)的值可能为()A.0B.1C.2D.-1【解析】选AC.因为单位向量a与b共线,所以当向量a与b方向相同时,a(a+b)=a2+ab=1+11cos 0=2.当向量a与b方向相反时,a(a+b)=a2+ab=1+11cos =0.10.设向量a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若a与b的夹角大于90,则实数m的值可以是()A.-1B.0C.1D.2【解析】选A、B、C.ab0(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)0,即3m2-2m-80,所以
6、-m2.11.下列关于函数y=2cos2-1的叙述正确的是()A.最小正周期为,奇函数B.最小正周期为,偶函数 C.最小值为-3,最大值为1D.最小值为-1,最大值为1 【解析】选AD.因为y=2cos2-1=cos=sin 2x为奇函数,T=, 最小值为-1,最大值为1.12.将函数y=sin 2xcos +cos 2xsin 的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则的一个可能取值为()A.B.C.-D.-【解析】选AD.把函数y=sin 2xcos +cos 2xsin =sin (2x+)的图像向左平移个单位后,得到的图像的解析式是y=sin,该函数是偶函数的充要条件是+=
7、k+,kZ,=k+,kZ,根据选项检验可知的可能取值为,-.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb,若bc,则实数k的值为.【解析】由a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb=(1+k,2-k),若bc ,则1+k-2+k=0,解得k=.答案:14.正六边形ABCDEF边长为1,则=.【解析】根据题意作图如下:由正六边形的性质知,=2,所以=2=2|cos 60,即=211=1.答案:115.已知是第二象限的角,tan(+2)=-,则tan =.【解析】由tan(+2)=-得tan 2=-,又ta
8、n 2=-,解得tan =-或tan =2,又是第二象限的角,所以tan =-.答案:-16.矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P为矩形内部一点且AP=1,若=x+y,则3x+2y的取值范围是.【解析】如图,设PAB=,=1.由=x+y,得=x+y=9x,=x+y=4y,由向量数量积的几何意义,得=cos =3cos =9x,=cos (-)=2sin =4y,所以3x+2y=cos +sin =sin .由于,得+,所以sin 1得1sin,所以3x+2y的取值范围是(1,.答案:(1,四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已
9、知0,sin =.(1)求tan 的值.(2)求cos 2+sin 的值.【解析】(1)因为0-3且x.21.(12分)已知向量a=(2sin x,cos x),b=(cos x,2cos x).(1)设f(x)=ab,求f(x) 的单调递增区间.(2)若c=(2,1),向量a-b与c共线,且x为第二象限角,求(a+b)c 的值.【解析】(1) f(x)=2sin xcos x+2cos 2x=sin 2x+cos 2x+1=sin+1,由2k-2x+2k+,得k-xk+,得f(x) 的单调递增区间为,kZ.(2)因为a-b=(2sin x-cos x,-cos x),c=(2,1),a-b与
10、向量c 共线,所以2sin x-cos x=-2cos x,即tan x=-.又因为x是第二象限角,所以sin x=,cos x=-,(a+b)c=2(2sin x+cos x)+3cos x=4sin x+5cos x=-.【拓展延伸】向量与三角函数综合题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等条件,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.22.(12分)已知函数f=sin 2x-cos 2x+1.(1)求y=f在区间上的单调递增区间.(2)求y=f在的值域.【解题指南】(1)利用辅助角公式可将函数化简为f=2sin +1;令2k-2x-2k+可求出f的单调递增区间,截取在上的部分即可得到所求的单调递增区间;(2)利用x的范围可求得2x-的范围,对应正弦函数的图像可求得sin 的范围,进而得到函数的值域.【解析】(1)f=sin 2x-cos 2x+1=2sin +1,令2k-2x-2k+,解得k-xk+,令k=0,可知f在上单调递增,令k=1,可知f在上单调递增,所以y=f在上的单调递增区间为和.(2)当x时,2x-,所以sin ,所以2sin +1.即y=f在的值域为.