1、第三章 三角函数、解三角形第7讲 正弦定理和余弦定理考纲展示三年高考总结掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.考点多维探究考点 1 正弦定理及应用回扣教材在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则1正弦定理asinA bsinB csinC2R(
2、R 为ABC 外接圆的半径)2常见变形(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(2)sinA a2R，sinB b2R，sinC c2R(3)abcsinAsinBsinC(4)asinA bsinB csinCabcsinAsinBsinC3解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角4在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，三角形解的情况小题快做1.思考辨析(1)在ABC 中，若 sinAsinB，则 AB.()(2)在ABC 中，a 3，b 2，B45，则 A60或 120.()(3)在ABC 中，asinAabcsi
3、nAsinBsinC.()2在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是()Ab10，A45，C60Ba6，c5，B60Ca14，b16，A45Da7，b5，A60解析 由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其一边的对角选项 C 中，sinBbsinAa16sin45144 27 a，BA，角 B 有两个解，故选 C.32015兰州诊断在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA 3acosB.则 B()A.6B.4C.3D.2解析 根据题意结合正弦定理，得 sinBsinA 3sinAcosB.因为 sinA0，所以 sinB 3cosB，即sinBco
4、sBtanB 3，所以 B3，故选 C.4教材改编在ABC 中，已知 A60，B75，c20，则 a_.10 6解析 由已知得角 C180607545，由正弦定理得asin60csin45，解得 a10 6.典例1 (1)2013湖南高考在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b.若 2asinB 3b，则角 A 等于()A.12B.6C.4D.3(2)2015重庆高考在ABC 中，B120，AB 2，A 的角平分线 AD 3，则 AC_.6解析(1)由正弦定理可知：2sinAsinB 3sinB，因为 B 为三角形的内角，所以 sinB0，故 sinA 32，又因为ABC 为锐角
5、三角形，所以 A0，2.故 A3，选 D.(2)依题意知BDAC12BAC，由正弦定理得2sinBDA3sinB，sinC12BAC 22，CBAC180B60，C12BAC45，BAC30，C30.从而 AC2ABcos30 6.1.正弦定理的应用技巧(1)求边：利用公式 absinAsinB，basinBsinA，casinCsinA 或其他相应变形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sinAasinBb，sinBbsinAa，sinCcsinAa或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边：即absinAsinB，bcsinBsinC，casinCsinA，可
6、应用这些公式解决边或角的比例关系问题2判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.【跟踪训练】12015广东高考设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sinB12，C6，则 b_.1解析 在ABC 中，由 sinB12，可得 B6或 B56，结合 C6可知 B6.从而 A23，利用正弦定理 asinA bsinB，可得 basinBsinA 1.22016合肥质检已知ABC 中，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，B60，b2，ax，若 c 有
7、两解，则 x 的取值范围是_2，4 33解析 因为 c 有两解，则 x 有两解，所以 32 x2x，解得 x2，4 33.考点多维探究考点 2 余弦定理及应用回扣教材在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则1余弦定理a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC2常见变形cosAb2c2a22bc；cosBa2c2b22ac；cosCa2b2c22ab3解决的问题(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角4必记结论(1)三角形的内角和定理：在ABC 中，ABC，其变式有：AB，AB2等(2)三角形中的三角函数关
8、系sin(AB)；cos(AB)；sinAB2；cosAB2.C2C2sinCcosCcosC2sinC2小题快做 1.思考辨析(1)在ABC 中，a2b2c2 是ABC 为锐角三角形的必要不充分条件()(3)在ABC 中，若 sinAsinBb，c2a2b2，C2，B3.42013福建高考 如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 23，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_3解析 cosBADcosBAC2 sinBAC2 23.故在ABD 中，由余弦定理知 BD2AB2AD22ABADcosBAD3，故 BD 3.考点多维探究考点 3 正弦定理、余弦定理的
9、综合应用利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高考的重点考查方向，常与三角恒等变换相结合，以填空题、解答题的形式出现较多，且主要有以下几种命题角度命题角度 1 利用正、余弦定理求角(或正、余弦值)典例3 2013天津高考在ABC 中，ABC4，AB 2，BC3，则 sinBAC()A.1010 B.105 C.3 1010 D.55解析 在ABC 中，由余弦定理得 AC2BA2BC22BABCcosB(2)2322 23 22 5，解得 AC 5.再由正弦定理得 sinBACBCsinBAC3 225 3 1010.故选 C.命题角度 2 利用正、余弦定理求边长典例4 2015
10、江苏高考在ABC 中，已知 AB2，AC3，A60.(1)求 BC 的长；(2)求 sin2C 的值解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcosA49223127，所以 BC 7.(2)由正弦定理知，ABsinC BCsinA，所以 sinCABBCsinA2sin607 217.由 AB0，sinA1，即 A2，故选 B.1.利用正、余弦定理求边和角的方法(1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置(2)选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题(3)在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用2利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思
11、路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC 这个结论提醒 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.【跟踪训练】52015南昌一模在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c1，B45，cosA35，则 b 等于()A.53B.107C.57D.5 214解析 因为 cosA35，所以 si
12、nA 1cos2A135245，所以 sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB45cos4535sin457 210.由正弦定理 bsinB csinC，得 b 1 7 210sin4557.62015榆林质检在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求 A 的大小；解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc，由余弦定理得 a2b2c22bccosA，故 cosA12，又 0A，所以 A23.(2)若 sinBsinC1，试判断ABC 的形状解(2)由
13、(1)得 sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又 sinBsinC1，得 sinBsinC12.因为 0B2，0C2，故 BC6，所以ABC 是等腰的钝角三角形考点多维探究考点 4 与三角形面积有关的综合问题回扣教材必记结论三角形的面积公式设ABC 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S.(1)S12ah(h 为 BC 边上的高)；(2)S12absinC12bcsinA12acsinB；(3)S2R2sinAsinBsinC(R 为ABC 外接圆半径)；(4)Sabc4R；(5)S ppapbpcp12abc；(6)Spr(p 同(5)，r 为ABC
14、内切圆的半径)结合正、余弦定理及与平面向量、不等式等知识求三角形的面积问题是每年高考的重点内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题，且主要有以下几种命题角度命题角度 1 求三角形的面积典例6 2014江西高考在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2(ab)26，C3，则ABC 的面积是()A3 B.9 32C.3 32D3 3 解析 c2(ab)26，即 c2a2b22ab6.C3，由余弦定理得 c2a2b2ab，由和得 ab6，SABC12absinC126 32 3 32，故选 C.命题角度 2 已知三角形的面积解三角形典例7 2015天津高
15、考在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cosA14，则 a 的值为_8解析 因为 cosA14，0A，所以 sinA 1cos2A 154.由 3 1512bcsinA 得 bc24.又因为 bc2，所以 b6，c4.由余弦定理得 a2b2c22bccosA36161264.故 a8.命题角度 3 与不等式结合求最值典例8 2014课标全国卷已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC 面积的最大值为_3解析 因为 a2，所以(2b)(sinAsinB
16、)(cb)sinC 可化为(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即 b2c2a2bc，由余弦定理可得 cosAb2c2a22bc bc2bc12，又 0A，故 A3.因为 cosA12b2c242bc2bc42bc，所以 bc4，当且仅当 bc 时取等号由三角形面积公式知SABC12bcsinA12bc 32 34 bc 3，故ABC 面积的最大值为 3.命题角度 4 与向量结合求面积典例9 2015陕西高考ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m(a，3b)与 n(cosA，sinB)平行(1)求 A；解(1)因为 m
17、n，所以 asinB 3bcosA0，由正弦定理，得 sinAsinB 3sinBcosA0，又 sinB0，从而 tanA 3，由于 0A0，所以 c3.故ABC 的面积为12bcsinA3 32.解法二：由正弦定理，得7sin3 2sinB，从而 sinB 217，又由 ab，知 AB，所以 cosB2 77.故 sinCsin(AB)sinB3 sinBcos3cosBsin33 2114.所以ABC 的面积为12absinC3 32.与三角形面积有关问题的常见题型及求解方法(1)求三角形面积的方法若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积
18、，套公式求解若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键(2)三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解(3)与向量、不等式的综合问题求解方法利用正、余弦定理结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积时，常利用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.72015长春三模已知ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b2c2bc，bc4，则ABC
19、 的面积为()A.12B1C.3D2解析 a2b2c2bc，cosA12，A3，又 bc4，ABC 的面积为12bcsinA 3，故选 C.82014山东高考在ABC 中，已知ABACtanA，当 A6时，ABC 的面积为_16解析 根据平面向量数量积的概念得ABAC|AB|AC|cosA，当 A6时，根据已知可得|AB|AC|23，故ABC 的面积为12|AB|AC|sin616.92013湖北高考在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c.已知 cos2A3cos(BC)1.(1)求角 A 的大小；解(1)由 cos2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cosA20，即(
20、2cosA1)(cosA2)0，解得 cosA12或 cosA2(舍去)因为 0A，所以 A3.(2)若ABC 的面积 S5 3，b5，求 sinBsinC 的值解(2)由 S12bcsinA12bc 32 34 bc5 3，得 bc20.又 b5，所以 c4.由余弦定理得 a2b2c22bccosA25162021，故 a 21.又由正弦定理得sinBsinCbasinAcasinAbca2sin2A20213457.微专题思想方法转化与化归思想在解三角形中的应用典例 2015浙江高考在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 A4，b2a212c2.(1)求 tanC
21、 的值；(2)若ABC 的面积为 3，求 b 的值解题视点(1)将已知条件中的 b2a212c2 利用正弦定理转化为角正弦的关系，再结合三角形内角和为 及倍角公式求解；(2)利用同角关系式求出 sinB，再由正弦定理及三角形面积公式 S12bcsinA 即可求出 b的值解(1)由 b2a212c2 及正弦定理得 sin2B1212sin2C，所以cos2Bsin2C.又由 A4，即 BC34，得cos2Bsin2C2sinCcosC，解得 tanC2.(2)由 tanC2，C(0，)得 sinC2 55，cosC 55.又因为 sinBsin(AC)sin4C，所以 sinB3 1010.由正弦定理得 c2 23 b，又因为 A4，12bcsinA3，所以 bc6 2，故 b3.方法指导 转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性课后课时作业