1、第一章 章末整合提升基 础 巩 固一、选择题1(2016北京丰台区二模)已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，b，c，B，那么a等于(C)A1B2 C4D1或4解析在ABC中，b，c，cosB，由余弦定理有b2a2c22accosB，即7a233a，解得a4或a1(舍去)故a的值为4.2在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A(A)A30B60 C120D150解析由余弦定理得：cosA，由题知b2a2bc，c22bc，则cosA，又A(0，180)，A30，故选A3三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的
2、此两边长分别是(D)A3和5B4和6 C6和8D5和7解析设夹角为A，cosA，sinA，SbcsinA14，bc35，又bc2，b7，c5.4设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为(B)A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定解析由正弦定理，得sinBcosCsinCcosBsin2A，所以sin(BC)sin2A，sinAsin2A，而sinA0，sinA1，A，所以ABC是直角三角形5如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算A
3、、B两点的距离为(A)A50mB50mC25mDm解析由题意知ABC30，由正弦定理得，AB50(m)6(2015合肥市质检)已知ABC的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为(B)A(1，)B(0,2)C(1,3)D(0,3)解析依题意得cab.ccabca3a，于是有2c4a,02，即的取值范围是(0,2)，故选B二、填空题7(2015益阳模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinAbsinBcsinCasinB，则角C等于.解析由正弦定理，得a2b2c2ab，所以cosC，又0C，所以C.8(2015福州模拟)在ABC中，BC1，B，ABC的面积S
4、，则sinC.解析因为在ABC中，BC1，B，ABC的面积S，所以SABCBCBAsinB，即1BA，解得BA4.又由余弦定理，得AC2BC2BA22BCBAcosB，即得AC，由正弦定理，得，解得sinC.三、解答题9(2015山东青岛市质检)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b3.(1)求角B；(2)若sinA，求ABC的面积解析(1)，.a2b2acc2，即a2c2b2ac，cosB.B(0，)，B.(2)由b3，sinA，sinB，得a2.由ab得A0)则aksinA，bksinB，cksinC代入中，有，变形可得sinAsinBsinAcosBcosAsinBs
5、in(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sinC，所以sinAsinBsinC(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cosA.所以sinA.由(1)，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，所以sinBcosBsinB，故tanB4.能 力 提 升一、选择题11在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于(B)A BCD解析设ABc，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2c2BC22BCccos60，即7c242c，即c22c30，c3(负值舍去)又hcsin603，故选B12在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a，b(0)，A4
6、5，则满足此条件的三角形个数是(A)A0B1C2D无数个解析直接根据正弦定理可得，可得sinB1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.13一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是(A)A10n mileB10n mileC20n mileD20n mile解析如图所示，易知，在ABC中，AB20n mile，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(n mile)二、填空题14(2015天津十二区县联考)
7、已知ABC中，AB1，sinAsinBsinC，SABCsinC，则cosC.解析设ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sinAsinBsinC，则由正弦定理得abc，又因为SABCabsinCsinC，所以ab，故cosC.15已知平面内四点O、A、B、C满足0，1，则ABC的面积为.解析由0知O为ABC的重心，又由得()0，所以，同理，所以O为ABC的垂心故ABC为正三角形即|cos1201，|2.SAOC|sin120，SABC.三、解答题16(2015武汉市调研)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos2Aa(2sinAsinB)，c，cosB.(
8、1)求sinA；(2)求a，b的值解析(1)在ABC中，由正弦定理及bcos2Aa(2sinAsinB)知sinBcos2AsinA(2sinAsinB)，sinBcos2AsinBsin2A2sinA，sin2Acos2A1，sinB2sinA，又cosB，sinB.sinAsinB.(2)由(1)可知b2a，由余弦定理b2a2c22accosB及b2a，c得(2a)2a272acosB而cosB，3a24a70，即(3a7)(a1)0，a1，b2.17如右图所示，甲船以每小时30n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向
9、的B1处，此时两船相距20n mile.当甲船航行20min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10n mile，问乙船每小时航行多少n mile？解析解法一：如图，连结A1B2，由题意知A2B210n mile，A1A23010n mile.所以A1A2A2B2.又A1A2B218012060，所以A1A2B2是等边三角形所以A1B2A1A210n mile.由题意知，A1B120n mile，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos45202(10)222010200.所以B1B210n mile
10、.因此，乙船速度的大小为6030(n mile/h)答：乙船每小时航行30n mile.解法二：如下图所示，连结A2B1，由题意知A1B120n mile，A1A23010n mile，B1A1A2105，又cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60，sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60，在A2A1B1中，由余弦定理，得A2BA1BA1A2A1B1A1A2cos105202(10)222010100(42)，所以A2B110(1)n mile由正弦定理，得sinA1A2B1sinB1A1A2，所以A1A2B145，即B1A2B2604515，cos15sin105.在B1A2B2中，由题知A2B210n mile，由余弦定理，得B1BA2BA2B2A2B1A2B2cos15102(1)2(10)2210(1)10200，所以B1B210n mile，故乙船速度的大小为6030(n mile/h)答：乙船每小时航行30n mile.