1、开鲁一中2019-2020学年高二下学期数学（文）期中试题一、单选题1.已知集合,集合,那么集合( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由交集的定义即得解.【详解】集合,集合,由交集的定义：故选：D【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出【详解】解：，故选A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义若， ，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数3.甲、
2、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A. 甲是律师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是律师C. 甲是医生，乙是律师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是律师【答案】C【解析】【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生故选：C.【点睛】本题考查简单的合情推
3、理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题.4.关于直线及平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中线面，线线，面面位置关系，逐项判定，即可得出结果.【详解】A选项，若，则与可能平行，相交或异面；故A错；B选项，若，则与可以平行或相交；故B错；C选项，若，则平面内存在直线，使得；又，所以；根据面面垂直的判定定理，可得；故C正确；D选项，若，因为与是否相交并不确定，因此不一定成立；故D错.故选：C.【点睛】本题主要考查空间中线面，面面有关命题的判定，属于常考题型.5.已知x，y的取值如下表：x0134y
4、2.24.34.86.7根据上表可得回归方程为，则（ ）A. 3.25B. 2.6C. 2.2D. 0【答案】B【解析】【分析】求出样本中心，代入回归方程即可解出【详解】，把样本点中心代入回归方程得，故选B【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题6.如果执行下面的程序框图，那么输出的（ ）A. 96B. 120C. 144D. 720【答案】B【解析】【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求【详解】根据题意可知该循环体运行4次 第一次：t=2，k=2， 第二次：t =6，k=3， 第三次：t =24，k=4， 第四次：t =120，
5、k=5， 因为k=5，结束循环，输出结果t=120 故选：B【点睛】本题考查循环结构解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律7.若满足约束条件则的最大值为（ ）A. B. 2C. D. 4【答案】C【解析】【分析】求目标函数的最值，先准确地作出可行域，再确定目标函数的几何意义，根据题意确定取得最优解的点进而求出目标函数的最值【详解】由题意可知，如上图，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包含边界），目标函数变为，当直线经过点时，值最大，根据条件得到故点坐标为，故，故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，属于简单题8.若双曲线的离心率为，则（ ）A. B. C. 2D
6、. 3【答案】C【解析】【分析】首先求出，再根据离心率即可求解.【详解】由所以，解得故选：C【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，需熟记双曲线离心率的计算式子，属于基础题.9.在中，其的面积等于，则等于（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，由余弦定理，所以，故选C10.给出下列两个命题：命题：“，”是“函数为偶函数”的必要不充分条件；命题：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断出简单命题、的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假.【详解】对于命题，若函数为偶函数，则其对称轴为，得，则“，”是“函数
7、为偶函数”的充分不必要条件，命题为假命题；对于命题，令，即，得，则函数的定义域为，关于原点对称，且，所以，函数为奇函数，命题为真命题，因此，、均为假命题，为真命题，故选C.【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.11.若不等式的解集非空，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值为，根据题意可得即可.【详解】解：不等式的解集非空，因为，故选：C【点睛】考查不等式能成立求参数的范围，基础题.12.设函数，若有两个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案
8、】D【解析】【分析】先将表示为关于的函数，再利用导数求函数的值域即可得解.详解】解：由可知，又，令，则，则函数在为减函数，在为增函数，又，故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数求函数的值域，属中档题.二、填空题13.曲线在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.【详解】解：由，得，则，即当时，所以切线方程为：，故答案为：.【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.14.等比数列中，则公比 【答案】2【解析】【分析】由等比数列的公比的定义可得:公比,代入已知的值可得答案.【详解】,所以公比,故答案为2.
9、【点睛】本题考查等比数列的公比的定义,意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题.15.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的实轴长为_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，结合求得的值，进而求得双曲线的实轴长.【详解】由题意可得，解得，则该双曲线的实轴长为.故答案为：【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.16.关于的不等式恒成立，实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据不等式恒成立，分离参数并构造函数，求得导函数，结合导数性质可判断的单调区间与最小值，即可求得的取值范围.【详解】在恒成立，即恒成立，即，令，则，当，即，解得，当，即，解得所以在上为减函数
10、，在上增函数，所以，所以故答案为：.【点睛】本题考查了分离参数与构造函数法的应用，由导函数求函数的最值及参数的取值范围，属于中档题.三、解答题17.已知函数在点处的切线方程为(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值与最小值【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），得到关于a的方程，求出a的值，从而求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可【详解】（1） 函数在点处的切线的斜率 由题意可知，得 函数的解析式为 （2）由（1）知，令，解得令，解得 令，解得 列表：02119从上表可知，在
11、区间上，当时，取得最大值19， 当时，取得最小值是.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求与的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出与的直角坐标方程；（2）将直线的直角坐标方程化为参数方程，点在直线上，利用参数的几何意义，可得的值.【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以其直角坐标方程为，直线的极坐标方程
12、为，其直角坐标方程为；（2）直线过点且参数方程可表示为（为参数），代入曲线的方程，得，则，.【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题.19.甲、乙两个班级（各40名学生）进行一门考试，为易于统计分析，将甲、乙两个班学生的成绩分成如下四组：，并分别绘制了如下的频率分布直方图： 规定：成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为不优秀.（1）根据这次抽查的数据，填写下面的列联表：优秀不优秀合计甲班乙班合计（2）根据（1）中的列联表，能否有的把握认为成绩是否优秀与班级有关？附：临界值参考表与参考公式0.1
13、50.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.635787910.828（，其中）【答案】（1）填表见解析；（2）没有的把握认为成绩是否优秀与班级有关【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出甲班、乙班优秀的人数即可；（2）直接利用卡方公式结合临界值参考表即可得到答案.【详解】（1）由题意，甲班优秀的人数为人，乙班优秀的人数为，所以列联表，如下：优秀不优秀合计甲班103040乙班63440合计166480（2），所以没有的把握认为成绩是否优秀与班级有关.【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.2
14、0.已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）（1）求曲线，的普通方程并指出它们的形状；（2）若点在曲线上，点在曲线上，求线段长度的最小值【答案】（1）普通方程为，曲线为一条直线；曲线的为普通方程为，是一个焦点在轴上的椭圆（2）【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标的关系转化曲线即可，由同角三角函数关系中和的关系将曲线的方程消参得普通方程即可；（2）利用点到线的距离公式结合辅助角公式求最值即可【详解】（1）将曲线的极坐标方程化为普通方程，所以曲线为一条直线；曲线的参数方程化为普通方程，所以曲线是一个焦点在轴上的椭圆（2）曲线上的点坐标为，则求线段的最小值为点到直线的距离，所以，即最小
15、值为【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，还考查了利用参数方程求直线与曲线距离的最值，属于简单题.21.已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线交于，两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.【答案】(1)；(2)是，.【解析】【分析】（1）根据抛物线定义,即可求得,进而得抛物线方程.（2）设出直线方程,联立抛物线,设出点坐标,将点带入抛物线方程,结合平面向量数量积的坐标运算即可求得所过定点的坐标.【详解】（1）由抛物线的定义知,抛物线的方程为：（2）设的方程为：,代入有,设,则,的方程为,恒
16、过点.【点睛】本题考查根据抛物线定义求抛物线方程,直线与抛物线的位置关系,平面向量数量积定义,直线过定点的求法,属于基础题.22.设函数.（1）求的单调区间；（2）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0【解析】【分析】（1），对分类讨论，可得其单调区间（2）当时，对，都有恒成立， ，令，只需，利用导数研究其单调性即可得出【详解】解：（1），.当时，在恒成立，在单减函数.当时，令，解之得.从而，当变化时，随的变化情况如下表：-0+单调递减单调递增由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数.综上，当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为.（2）当，为整数，且当时，恒成立.令，只需；又，由（1）得在单调递增，且，所以存在唯一的，使得，当，即单调递减，当，即单调递增，所以时，取得极小值，也是最小值，当时，而在为增函数，即.而，即所求的最大值为0.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题