1、课时素养评价十一数列的应用 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在我国明代数学家“珠算之父”程大位(1533-1606)所著的算法统宗中,有许多用诗歌形式表达的数学问题,如八子分棉歌:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传.”则此问题(第八数)的答案为(单位:斤)()A.150B.167C.184D.201【解析】选C.设第一子分a1斤棉,则an是公差为17的等差数列,由题意得8a1+17=996,解得a1=65(斤),所以a8=65+717=184(斤).2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均
2、每年增长1.2%,粮食年产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为()A.y=360B.y=3601.04xC.y=D.y=360【解析】选D.根据题意,得x年后粮食年产量为360(1+4%)x=3601.04x,人口总量为(1+1.2%)x=1.012x;所以x年后年人均粮食占有量为:y=360=360.3.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题:“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中,第一人分得玉米()A.斗B.斗C.斗D.斗【解析】选B.由题可得:每人所得玉米数构成公比为的等比数列.
3、且数列的前10项和为10,设首项为a,则有=10,所以a=.4.(多选题)九章算术衰分中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中正确的是()A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱不超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最多【解析】选ABC.由题意,按比例,甲钱最多,付的税钱最多;丙钱最少,付的税钱最少;可知A正确,D不正确.乙、丙两人共持钱350+
4、180=530560,故乙、丙两人付的税钱不超过甲,可知B正确.乙应出的税钱为10032.可知C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用火柴棒按如图的方法搭三角形:则第100个图形所用火柴棒数为_.【解析】由图形可知,第一个图形用3根火柴棒,以后每一个比前一个多两根火柴棒,是等差数列,数列的首项为3,公差为2,an=3+(n-1)2=2n+1,即第n个使用火柴棒数为2n+1,则第100个图形所用火柴棒数为:2100+1=201.答案:2016.某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计
5、使用n年,其总花费(含购买费用)为_万元;当n=_时该渔船年平均花费最低(含购买费用).【解析】因为第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元,则第n年捕捞所需费用为4+2(n-1)=2n+2,所以总花费为n+100=n2+3n+100;平均花费=n+32+3=23,当且仅当n2=100,即n=10时,平均花费最小.答案:n2+3n+10010三、解答题(每小题10分,共20分)7.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是20年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,
6、已知到今年为止,森林剩余面积为a.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)该森林今后最多还能砍伐多少年?【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1),则a(1-x)20=a,即(1-x)20=,解得:x=1-.(2)设从今年开始,最多可以砍n年,由题意得a(1-x)na,即(1-x)n,可得,所以,解得n30,所以今后最多还能砍伐30年.8.(2020武汉高二检测)一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有疗效;而低于500 mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2 500 mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过多少小时向病人
7、的血液补充这种药,才能保持疗效.(附:lg 20.301 0,lg 30.477 1,精确到0.1 h)【解析】设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药,由题意,可得5002 500(1-20%)x1 500,整理得0.20.8x0.6,所以log0.80.6xlog0.80.2,因为log0.80.6=2.3,log0.80.2=7.2,解得2.3x7.2,应在用药2.3小时后及7.2小时前再向病人的血液补充药. (15分钟30分)1.(5分)“孪生素数猜想”是数学史上著名的未解难题,早在1900年国际数学家大会上,由德国数学家希尔伯特提出.所谓“孪生素数”是指相差为2的“素数对
8、”,例如3和5.从不超过20的素数中,找到这样的“孪生素数”,将每对素数作和.从得到的结果中选择恰当的数,构成一个等差数列,则该等差数列的所有项之和为()A.72B.68C.56D.44【解析】选A.根据定义列举出不超过20的孪生素数为3和5,5 和7,11和13,17和19,它们的和依次为8,12,24,36,构成等差数列的三个数分别是12,24,36,它们的和是72.2.(5分)(2020海东高二检测)1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩
9、余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 020这2 020个数中,能被2除余1,且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则a20=()A.181B.191C.201D.211【解析】选B.由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数,即an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(nN+),故a20=10(20-1)+1=191.3.(5分)我国古代九章算术一书中记载关于“竹九”问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问五、六两节欲均容各多少?”意思是下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,且每一节容量变化均匀,问第五
10、、六两节容量分别是多少?在这个问题中,最下面一节容量是_升,九节总容量是_升.【解析】设由下到上九节容量分别记为a1,a2,a9,则a1,a2,a9成等差数列,设公差为d,且a1+a2+a3=4,a6+a7+a8+a9=3,所以3a1+3d=4,4a1+26d=3,解得a1=,d=-,所以S9=9+=.答案:4.(5分)2018年5月至2019年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蝗虫迅速繁衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了8 000倍,引发了蝗灾,到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5%,最初有N0只.则经过_天能达到最初的16 000倍(参考数据:ln
11、 1.050.048 8,ln 1.50.405 5,ln 1 6007.377 8,ln16 0009.680 3).【解析】设过x天能达到最初的16 000倍,由已知N0(1+0.05)x=16 000N0,即1.05x=16 000,所以x=198.4,又xN,所以过199天能达到最初的16 000倍.答案:199【加练固】某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%,如果存款到期不取出继续留存于银行,银行自动将本金及80%的利息(利息须交纳20%利息税,由银行代交)自动转存一年期定期储蓄.某人以一年期定期储蓄存入银行20万元,则5年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为_元(精确到1元).【解析】
12、由题意,1年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200 000(1+2.25%80%)=200 0001.018;2年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200 000(1+2.25%80%)(1+2.25%80%)=200 0001.0182;所以5年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200 0001.0185=218 659.769218 660.答案:218 6605.(10分)某化工厂一种溶液的成品,生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质,过滤初期溶液含杂质为2%,每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少,记过滤次数为x(xN+)时溶液杂质含量为y.(1)写出y与x的函数关系式;(2)按市场要求
13、,出厂成品杂质含量不能超过0.1%,问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求?(参考数据:lg 2=0.301,lg 3=0.477)【解析】(1)由题意得y=2%=,xN+.(2)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求,则0.1%,即,所以x=7.4,又xN+,所以x8,即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.某企业2018年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从2019年起每年比上一年纯利润减少20万元,2019年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(2019年为第一年)的利润为500万
14、元(n为正整数).(1)设从2019年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式;(2)依上述预测,从2019年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?【解析】(1)依题设,An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2,Bn=500-600=500n-100.(2)Bn-An=-(490n-10n2)=10n2+10n-100=10n(n+1)-10,因为数列在(0,+)上为递增数列,当1n3时,n(n+1)-1012-100,所以当n4时,BnAn.所以至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.