1、第二章 函数、导数及其应用第5讲 指数与指数函数考纲展示三年高考总结1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图象及其通过的特殊点 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.从近三年高考情况来看，本讲在高考中时有出现，通常以考查指数的运算以及指数函数的图象、性质的应用为主，多以指数函数为载体，与函数的性质、方程、不等式等知识综合命题比较大小、简单的指数方程、不等式等为常考内容，一般以选择题为主，解题时要熟练运用指数函数的图象与性质进行转化求解，注意数形结合思想的
2、运用.考点多维探究考点 1 指数幂的化简与求值回扣教材1.根式概念 如果，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，nN*当 n 是奇数时，a 的 n 次方根 x当 n 是偶数时，正数 a 的 n 次方根 x(a0)；负数的偶次方根没有意义n次方根性质0 的任何次方根都是，记作n 0 xnan an a00概念 式子n a叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数当 n 为任意正整数时，(n a)n当 n 为奇数时，n an根式性质当 n 为偶数时，n an|a|aa0aa0，m，nN*，且 n1)运算性质aras(ar)s(ab)ra0，b0，r，sQn am1/n am0没有意义arsa
3、rsarbr3.无理数指数幂无理数指数幂 a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂小题快做1.思考辨析(1)n an与(n a)n 都等于 a(nN*)()(2)当 nN*时，(n 3)n 都有意义()(3)(1)24(1)12 1.()2教材改编若 x12 x 12 3，则x32 x32 2x2x23_.25解析 由 x12 x 12 3 得 xx1(x12 x 12)227，x2x2(xx1)2247，x32 x32(x12 x 12)(xx11)3(71)18，原式182473205025.3(2a23 b12)(6a12 b13)(3a16 b5
4、6)_.4a解析 原式12a76 b563a16 b564a.4(0.06415)2.523 33380_.0解析 原式641000155223 27813 141031552 23 32313 1523210.典例1 化简与求值：(1)0.02713 17227912(21)0_.(2)56a13 b2(3a 12 b1)(4a23 b3)12 ab_.解析(1)原式(0.33)13 7225912 1103 4953145.(2)原式52a16 b3 2a13 b32 a12 b1254a 12 b32 a12 b12 54b.45 54b指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无
5、括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示如果有特殊要求，要根据要求写出结果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【跟踪训练】化简与求值：1.3213 7608144 2(3 2 3)62323 _.110解析 原式2313 1234 214(2
6、13 312)62313 2427110.2.a35 b235 b34 a3_.a4 a解析 原式a32 312 b315 210 a54 a4 a.考点多维探究考点 2 指数函数的图象及应用回扣教材指数函数的图象及特征函数yax(a0，且 a1)0a1图象在 x 轴，过定点图象特征当 x 逐渐增大时，图象逐渐下降当 x 逐渐增大时，图象逐渐上升上方(0,1)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中 0cd1a0，且 a1)与 x 轴有且只有一个交点()(3)函数 yax 与 yax(a0 且 a1)的图象关于 x 轴对称()22015绵阳模拟函数 yax 与 y1a
7、x(a0，且 a1)的图象关于()Ax 轴对称By 轴对称C原点对称D直线 yx 对称解析 y1axax，故选 B.32015西安模拟函数 yax1a(a0，a1)的图象可能是()解析 当 a1 时，函数单调递增，且函数图象过点0，11a，因为 011a1，故 A、B 均不正确；当0a1 时，函数单调递减，且函数恒过点0，11a，因为 11a0，且 a1)的图象经过点 P2，12，则 f(1)_.2解析 由已知 a212，又 a0 解得 a 22，故 f(x)22x，所以 f(1)221 2.典例2 (1)2015烟台模拟函数 f(x)axb 的图象如图，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的
8、是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0(2)若存在负实数 x 使得方程 2xa 1x1成立，则实数 a 的取值范围是()A(2，)B(0，)C(0,2)D(0,1)解析(1)由 f(x)axb 的图象可以观察出，函数 f(x)axb 在定义域上单调递减，所以 0a1，函数 f(x)axb 的图象是在 yax 的基础上向左平移得到的，所以 b0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1，1a.(2)指数函数图象的应用已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，
9、通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【跟踪训练】3函数 f(x)1e|x|的图象大致是()解析 将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A满足上述两个性质故选 A.42015聊城模拟若方程|3x1|k 有两个解，则实数 k 的取值范围是_(0,1)解析 曲线 y|3x1|与直线 yk 的图象如图所示，由图象可知，如果 y|3x1|与直线 yk 有两个公共点，则实数 k 应满足 0k10a0 时，y1；当 x0 时，0y
10、0 时，；当 x1性质在 R 上是单调增函数在 R 上是单调减函数(0，)0y1小题快做1.思考辨析(1)若 am0 且 a1)，则 m0，且 a1)是 R 上的增函数()(3)函数 y14|x|的值域是(，1()22014陕西高考下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3Bf(x)3xCf(x)x12Df(x)12x解析 f(xy)f(x)f(y)，f(x)为指数函数模型，排除 A、C.又f(x)为单调递增函数，排除 D，故选 B.3已知函数 f(x)ax(0a0，则 0f(x)1；若 x0；若 f(x1)f(x2)，则 x1x2.其中正确的命题()A有
11、 3 个B有 2 个C有 1 个D不存在解析 由 0a1 知函数 f(x)为减函数，结合指数函数的图象及性质易知，选 A.4教材改编若函数 y(a21)x 在(，)上为减函数，则实数 a 的取值范围是_(2，1)(1，2)解析 由已知可得 0a211，故 1a22 解得 2a1 或 1a 2.指数函数的性质主要是其单调性，高考中常以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，且主要有以下几种命题角度.命题角度 1 比较指数幂的大小典例3 2015天津高考已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数记 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c
12、的大小关系为()AabcBacbCcabDcblog230，而函数 f(x)2|x|1 在(0，)上为增函数，f(log25)f(log23)f(0)，即 bac，故选 C.命题角度 2 解指数方程或不等式典例4 2015江苏高考不等式 2x2x4 的解集为_(1,2)解析 不等式 2x2x 4x2x21x0，a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_.32解析(1)当 0a1 时，函数 f(x)在1,0上单调递增，由题意可得f11f00，即a1b1a0b0，显然无解所以 ab32.命题角度 4 探究指数型函数的性质典例6 设函数 f(x)kaxax(a0 且 a1)是定义域为 R 的奇函数(
13、1)若 f(1)0，试求不等式 f(x22x)f(x4)0 的解集；解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)0，所以 k10，即 k1，f(x)axax.(1)因为 f(1)0，所以 a1a0，又 a0 且 a1，所以 a1.yax，y1ax 均为增函数所以 f(x)在 R 上为增函数，原不等式可化为 f(x22x)f(4x)，所以 x22x4x，即 x23x40，所以 x1 或 x1 或 x4(2)若 f(1)32，且 g(x)a2xa2x4f(x)，求 g(x)在1，)上的最小值解(2)因为 f(1)32，所以 a1a32，即 2a23a20，所以 a2 或 a12(舍去
14、)所以 g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令 t(x)2x2x(x1)，则 t(x)在1，)为增函数(由(1)可知)，即 t(x)t(1)32，所以原函数为(t)t24t2(t2)22，所以当 t2 时，(t)min2，此时 xlog2(1 2)即 g(x)在 xlog2(1 2)时取得最小值2.指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)指数型函数中参数的取值或范围问题，应利用
15、指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数 a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论(4)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.【跟踪训练】52015陕西质检设 a1213，b1312，cln 3，则()AcabBcbaCabcDbad；再由幂函数 g(x)x12 的单调性知，db，所以 ab0，又 031，所以 c0，故选 B.解法二：因为 031，故 c0，b0，排除 C、D；又a3b312127 272 1，即 ab，排除 A，故选 B.62015郑州模拟设偶函数 f(x)
16、满足 f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2解析 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)f(x)2x4.f(x)2x4，x0，2x4，x0 时，有x20，2x240或x20，解得 x4 或 x0.72015陕西二模设函数 f(x)x13，x82ex8，x8，则使得 f(x)3 成立的 x 的取值范围是_(，27解析 当 x8 时，x13 3，x27，即 8x27；当 x8 时，2ex83 恒成立，故 x8.综上，x(，278若不等式(m2m)2x12x1 对一切 x(，1恒成立，则实数 m 的取值范围是_2m3解析(m2m)2x12x1 可
17、变形为 m2m12x12x 2，设 t12x，则原条件等价于不等式 m2mtt2 在 t2 时恒成立，显然 tt2 在 t2 时的最小值为 6，所以 m2m6，解得2m0，a1)的性质和 a 的取值有关，一定要分清 a1 与 0a0，a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m)x在0，)上是增函数，则 a_.错解 由函数 f(x)ax 在 R 上单调递增，故有 a24，a1m，解得 a2，m12，故 a2.错因分析 对条件 g(x)(14m)x在0，)上是增函数，没有进行限制，确定出 m 的取值范围；误认为底数 a1，f(x)为增函数，而忽略了 0a0，即 m1 时，f(x)ax 为增函数，由题意知a24，a1ma2，m12，与 m14矛盾当 0a1 时，f(x)ax 为减函数，由题意知a2m，a14a14，m 116，满足 m14.故 a14.答题启示 当所给条件中含有参数时，不要忽略对参数的分类讨论，否则易造成漏解或错解课后课时作业