1、2017年福建省三明市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|12x16，B=x|xa，若AB=A，则实数a的取值范围是（）Aa4Ba4Ca0Da02已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限36名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（）ABCD4设F1，F2为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，P为上一点，PF2与x轴垂直，直线PF1的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBCDy=2x5执行如图所
2、示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为 2，则输出S的值为（）A64B84C340D13646已知数列an的前n项和为Sn，且，则S2016=（）A3210083B220161C220093D2200837已知函数f（x）=sin（x+）2cos（x+）（0）的图象关于直线x=对称，则cos2=（）ABCD8在区域中，若满足ax+y0的区域面积占面积的，则实数a的值是（）ABCD9在四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）ABCD10函数的图象大致是（）ABCD11已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆
3、x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（）ABCD12“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）如图，正边形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知向量，满足=（，1），|=1，且=，则实数= 14已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为20，则a= 15
4、已知函数f（n）=n2cos（n），数列an满足an=f（n）+f（n+1）（nN+），则a1+a2+a2n= 16对于定义域为R的函数f（x），若满足f（0）=0；当xR，且x0时，都有xf（x）0；当x1x2，且f（x1）=f（x2）时，x1+x20，则称f（x）为“偏对称函数”现给出四个函数：g（x）=；（x）=exx1则其中是“偏对称函数”的函数个数为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=60，c=4（）若b=6，求角C的正弦值及ABC的面积；（）若D，E在线段BC上，且BD=DE=EC，求AD的长18如图，在四
5、棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABC=45，AD=AP=2，E为CD的中点，点F在线段PB上（）求证：ADPC；（）试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等19某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民
6、的月用水量（单位：吨），将数据按照0，2，（2，4，（14，16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图（）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况（ i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（）如图2是该市居民李某2016年16月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是若李某2016年17月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数20已知椭圆的右焦点F（1，0），椭圆的左，右顶点分别为M，N过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且MC
7、D的面积是NCD的面积的3倍（）求椭圆的方程；（）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆上位于直线CD两侧的动点，且满足ACD=BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由21已知函数f（x）=e2x（ax2+2x1），aR（）当a=4时，求证：过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切；（）当x0时，f（x）+10，求实数a的取值范围请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若直线l
8、的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：sin2=cos，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1（）求曲线C1的直角坐标方程；（）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2xa|+|2x1|，aR（I）当a=3时，求关于x的不等式f（x）6的解集；（II）当xR时，f（x）a2a13，求实数a的取值范围2017年福建省三明市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A
9、=x|12x16，B=x|xa，若AB=A，则实数a的取值范围是（）Aa4Ba4Ca0Da0【考点】18：集合的包含关系判断及应用【分析】由AB=A得AB，可解得结论【解答】解：A=x|12x16=x|0x4，AB=A，AB，B=x|xa，a4，故选A2已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数的共轭复数，进一步求出在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解： =，复数的共轭复数为：在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限故选：D36
10、名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（）ABCD【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】求出甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队方法、6名同学的站队方法，即可得出结论【解答】解：根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在6个位置中任选一个即可，有C61=6种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的2个位置中，任选一个，安排乙，有C21=2种选法；3、将剩余的4个人，安排在其余的4个位置，有A44=24种安排方法；则甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队方法有6224=288种；又6名同学的站队方法有A66=720，所求概率为=，故选B4设F1，
11、F2为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，P为上一点，PF2与x轴垂直，直线PF1的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBCDy=2x【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求出PF2，则=，化简整理即可得出a，b的关系，得出渐近线方程【解答】解：把x=c代入得y=，PF2=，直线PF1的斜率为，=，即2c22a23ac=0，2e23e2=0，e=2或e=（舍）=2，即，b=a，双曲线的渐近线方程为y=x故选：C5执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为 2，则输出S的值为（）A64B84C340D1364【考点】EF：程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，
12、S的值，当S=84时满足条件S64，退出循环，输出S的值为84【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，S=0S=4不满足条件S64，x=4，S=20不满足条件S64，x=8，S=84满足条件S64，退出循环，输出S的值为84故选：B6已知数列an的前n项和为Sn，且，则S2016=（）A3210083B220161C220093D220083【考点】8E：数列的求和【分析】an+1an=2n（nN*），a1=1，可得an+2an+1=2n+1， =2，因此数列an奇数项与偶首项分别成等比数列，公比为2，首项分别1，2分别求出和即可【解答】解：an+1an=2n（nN*），a1=1，a2=2，a
13、3=2又an+2an+1=2n+1，=2，数列an奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2S2016=（a1+a3+a2015）+（a2+a4+a2016）=+=3210083故选：A7已知函数f（x）=sin（x+）2cos（x+）（0）的图象关于直线x=对称，则cos2=（）ABCD【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【分析】由题意可得f（）=f（），化简可得tan的值，再根据cos2=，计算求的结果【解答】解：函数f（x）=sin（x+）2cos（x+）（0）的图象关于直线x=对称，f（）=f（），即 cos+2sin=cos2sin，即cos=2
14、sin，即tan=，则cos2=，故选：A8在区域中，若满足ax+y0的区域面积占面积的，则实数a的值是（）ABCD【考点】7C：简单线性规划【分析】先利用二元一次不等式（组）与平面区域，根据约束条件画出可行域，然后求出区域的面积即可，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定a的值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）可知A（0，1），B（0，1），C（1，0），x，y满足约束条件，则点P（x，y）所在区域的面积就是三角形的面积：SABC=21=1设y=ax，结合图形可知a0时，才能满足满足ax+y0的区域面积占面积的，由，解得xD=，则SOAD=1=，解得a=，故选：C9在
15、四面体ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）ABCD【考点】LM：异面直线及其所成的角【分析】如图所示，构造长方体，求出长方体的长、宽、高，EFAB，FOC为直线AB与CD所成角，利用余弦定理可得结论【解答】解：如图所示，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，a=，b=1，c=，即CE=1，CF=，FB=，EFAB，FOC为直线AB与CD所成角，OCF中，OC=OF=，CF=，cosFOC=，故选D10函数的图象大致是（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】利用函数的奇偶性以及特殊点的坐标所在位置判断即可【解答】解：函
16、数可知：f（x）=f（x），函数的定义域是x|x0，当x=e时，函数的图象经过（e，），是第一象限的点，x=1，f（1）=0，排除B，Cx0，f（x）0，显然A不满足题意故选：D11已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（）ABCD【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】如图所示，由 切线的性质可得：OQPF2又点O为线段F1F2的中点，利用三角形中位线定理可得：OQPF1，PF1PF2再利用椭圆的定义、勾股定理可得（2b）2+（2a2b）2=（2c）2，化为：b=c2=a2b2=
17、代入，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：如图所示，由 切线的性质可得：OQPF2又点O为线段F1F2的中点，Q为线段PF2的中点，OQPF1，PF1PF2|PF1|=2|OQ|=2b，|PF2|=2a2b在RtPF1F2中，（2b）2+（2a2b）2=（2c）2，化为：b2+（ab）2=c2=a2b2，化为：b=c2=a2b2=，当且仅当a2=时取等号（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为故选：C12“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）如图，
18、正边形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为与中截面面积为（2r）2的球的体积【解答】解：由题意，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为与中截面面积为（2r）2=R2的球的体积相等，所以几何体的体积为；故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知向量，满足=（，1），|=1，且=，则实数=2【考点】9J：平面向量的坐标运算【分析】由=，可得=|，解出即可得出【解答】解： =，=|，2=|，解得=2故答案为：214已知（1
19、+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为20，则a=2【考点】DB：二项式系数的性质【分析】由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积，加上第一项x的系数与第二项x的系数乘积之和等于20，由此解得a的值【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5） 展开式中x2的系数为+a=20，求得a=2，故答案为：215已知函数f（n）=n2cos（n），数列an满足an=f（n）+f（n+1）（nN+），则a1+a2+a2n=2n【考点】8E：数列的求和【分析】函数f（n）=n2cos（n），数列an满足an=f（n）+f（n+1）（n
20、N+），可得：a2k1=4k1a2k=4k1a2k1+a2k=2即可得出【解答】解：函数f（n）=n2cos（n），数列an满足an=f（n）+f（n+1）（nN+），a2k1=f（2k1）+f（2k）=（2k1）2+（2k）2=4k1a2k=f（2k）+f（2k+1）=（2k）2（2k+1）2=4k1a2k1+a2k=2a1+a2+a2n=2n故答案为：2n16对于定义域为R的函数f（x），若满足f（0）=0；当xR，且x0时，都有xf（x）0；当x1x2，且f（x1）=f（x2）时，x1+x20，则称f（x）为“偏对称函数”现给出四个函数：g（x）=；（x）=exx1则其中是“偏对称函数”
21、的函数个数为2【考点】3T：函数的值；5A：函数最值的应用；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】逐个条件进行验证：首先可验证四个函数都满足条件；对于条件，若f（x）的符号容易判断，可验证不等式xf（x）0成立，若f（x）的符号不容易判断，可理解到为函数在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，通过函数的单调性进行判断，可排除不满足条件的g（x）和（x）；对剩余的函数验证条件，h（x）和（x）都在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，所以由条件可设x10x2，则有h（x2）h（x1）=h（x2）h（x2），构造函数F（x）=h（x）h（x），通过求导判断F（x）在（0
22、，+）上的单调性，从而判断F（x2）与F（0）的大小关系，即得到h（x2）与h（x1）的大小关系，从而得到x1+x2的符号，判断条件是否成立，函数（x）同样的方法来验证条件【解答】经验证，g（x），h（x），（x），（x）都满足条件；xf（x）0，或即条件等价于函数f（x）在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增而容易验证g（x）是奇函数，由及函数的性质可知g（x）在区间（，0）和（0，+）上单调性相同，故g（x）不满足条件由复合函数的单调性法则知h（x）在区间（，0）上单调递减，显然在（0，+）上单调递增，故h（x）满足条件（x）=3x2+3x，x（x）=3x3+3x2=3x2（
23、x1），当x1时，x（x）0，故（x）不满足条件（x）=ex1，x（x）=x（ex1），满足条件故由条件可排除g（x）和（x）；由函数h（x）的单调性知：当x1x2，且h（x1）=h（x2）时，x1x20，不妨设x10x2则ln（x1+1）=2x2，设F（x）=ln（x+1）2x，x0则F（x）=0，F（x）在（0，+）上是减函数，所以F（x2）F（0）=0，即ln（x2+1）2x2，即ln（x2+1）ln（x1+1），所以x2+1x1+1，即x1+x20，故h（x）也满足条件，所以h（x）是“偏对称函数”由（x）的单调性知当x1x2，且（x1）=（x2）时，x1x20，不妨设x10x2则，x
24、20，（x1）（x2）=（x2）（x2）=令F（x）=exex2x，F（x）=，当且仅当ex=ex即x=0时，“=”成立，所以F（x）在0，+）上是增函数，所以F（x2）F（0）=0，即（x1）（x2）0，所以（x1）（x2），所以x1x2，所以x1+x20所以（x）是“偏对称函数”故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=60，c=4（）若b=6，求角C的正弦值及ABC的面积；（）若D，E在线段BC上，且BD=DE=EC，求AD的长【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（）根据正弦定理和两角和的正弦公式和三角形
25、的面积公式即可求出，（）设BD=x，由余弦定理求出x的值，再根据勾股定理即可求出【解答】解：（）B=60，c=4，b=6，在ABC中，由正弦定理，得，又bc，所以BC，则C为锐角，所以，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，所以ABC的面积（）设BD=x，则BE=2x，又B=60，c=4，在ABE中，由余弦定理得12x2=16+4x2242xcos60，即8x2=168x，解得x=1，则BE=2，所以AEB=90，在直角ADE中，18如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABC=45，AD=AP=2，E为CD的中点，点F在线
26、段PB上（）求证：ADPC；（）试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）利用勾股定理的逆定理证明ADAP，BCAC，从而AD平面PAC，得出ADPC；（II）由面面垂直的性质可得AP平面ABCD，建立空间坐标系，设=，求出平面PCD的法向量和平面ABCD的法向量，令|cos|=|cos|，解出即可【解答】解：（）证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，因为，BC=2，ABC=45，由余弦定理得，AC=2，AC2+BC2=AB2，BCAC，又ADBC，ADAC，AD=
27、AP=2，AD2+AP2=DP2，PAAD，又APAC=A，AP平面PAC，AC平面PAC，AD平面PAC，PC平面PAC，ADPC （）侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，PAAD，PA平面PAD，PA底面ABCD，以A为原点，以直线DA，AC，AP坐标轴建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（1，1，0），P（0，0，2），所以，设（0，1），则，F（2，2，2+2），平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1） 设平面PDC的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，1，1） 直线EF与平面
28、PDC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，|cos|=|cos|，即=，22=，解得，当时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等19某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照0，2，（2，4，（14，16分成8组，制
29、成了如图1所示的频率分布直方图（）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况（ i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（）如图2是该市居民李某2016年16月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是若李某2016年17月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数【考点】BK：线性回归方程；CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】（）（ i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，即可求这5户居民恰好3户居
30、民的月用水用量都超过12吨的概率；（）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表，即可估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（）求出7月份的水费为294.6240=54.6元居民月用水量为t吨，相应的水费为f（t）元，即可得出结论【解答】解：（）（ i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为 （ ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：月用水量x（吨）（0，12（12，14（14，16价格X（元/吨）4 4
31、.204.60概率P 0.90.060.04所以全市居民用水价格的期望E（X）=40.9+4.20.06+4.60.044.04吨（） 设李某2016年16月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为（xi，yi）（i=1，2，3，4，5，6），它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此y1+y2+y6=240，所以7月份的水费为294.6240=54.6元设居民月用水量为t吨，相应的水费为f（t）元，则f（t）=，t=13，f（t）=6.61331.2=54.6，李某7月份的用水吨数约为13吨20已知椭圆的右焦点F（1，0），椭圆的左，右顶点分别为M，N过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，
32、且MCD的面积是NCD的面积的3倍（）求椭圆的方程；（）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆上位于直线CD两侧的动点，且满足ACD=BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（I）由椭圆右焦点F（1，0），MCD的面积是NCD的面积的3倍，求出a，b，由此能求出椭圆的方程（II）法一：当ACD=BCD，则kAC+kBC=0，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为k，则AC的直线方程为，代入中整理得（3+4k2）x24k（2k3）x+4k212k3=0，由此能求出直线AB的斜率是定值 法二：设AB方程：y=kx+m，代入中，整理得（4k2+3）x2+8
33、kmx+4m212=0，由此利用韦达定理、根的判别式、直线方程、椭圆性质，结合已知条件，能求出直线AB的斜率是定值【解答】解：（I）因为椭圆的右焦点F（1，0），所以c=1，因为MCD的面积是NCD的面积的3倍，所以MF=3NF，即a+c=3（ac），所以a=2c=2，所以b2=3，则椭圆的方程为 （II）解法一：当ACD=BCD，则kAC+kBC=0，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为k，不妨设点C在x轴上方，设A（x1，y1），B（x2，y2），则AC的直线方程为，代入中整理得（3+4k2）x24k（2k3）x+4k212k3=0，；同理 所以，则=，因此直线AB的斜率是定值 （II
34、）解法二：依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程：y=kx+m，代入中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以，=64k2m24（4k2+3）（4m212）=16（12k23m2+9）0当ACD=BCD，则kAC+kBC=0，不妨设点C在x轴上方，所以，整理得，所以，整理得12k2+12（m2）k+96m=0，即（6k3）（2k+2m3）=0，所以2k+2m3=0或6k3=0当2k+2m3=0时，直线AB过定点，不合题意；当6k3=0时，符合题意，所以直线AB的斜率是定值 21已知函数f（x）=e2x（ax2+2x1），aR（）当a=
35、4时，求证：过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切；（）当x0时，f（x）+10，求实数a的取值范围【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）方法一、求出f（x）的解析式和导数，设直线与曲线y=f（x）相切，其切点为（x0，f（x0），求出切线的方程，代入P的坐标，整理成三次方程，运用两点存在定理，考虑方程的根的情况即可得证；方法二、求出f（x）的解析式和导数，设直线与曲线y=f（x）相切，其切点为（x0，f（x0），求出切线的方程，代入P的坐标，整理成三次方程，构造三次函数，求出导数和单调区间及极值，即可得证；（）由题意可得当x0时
36、，e2x（ax2+2x1）+10，构造，设，求出导数，讨论a的范围，运用单调性即可得到a的范围【解答】解法一：（）证明：当a=4时，f（x）=e2x（4x2+2x1），f（x）=e2x2（4x2+2x1）+e2x（8x+2）=2e2x（4x2+6x）设直线与曲线y=f（x）相切，其切点为（x0，f（x0），则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为：yf（x0）=f（x0）（xx0），因为切线过点P（1，0），所以f（x0）=f（x0）（1x0），即，设g（x）=8x314x+1，g（2）=350，g（0）=10，g（1）=50，g（2）=370g（x）=0在三个区间（2，0），（
37、0，1），（1，2）上至少各有一个根又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程8x314x+1=0恰有三个根，故过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切 （）当x0时，f（x）+10，即当x0时，e2x（ax2+2x1）+10，当x0时，设，则，设，则（1）当a2时，x0，从而m（x）0（当且仅当x=0时，等号成立）在（，0上单调递增，又m（0）=0，当x0时，m（x）0，从而当x0时，h（x）0，在（，0上单调递减，又h（0）=0，从而当x0时，h（x）0，即于是当x0时，f（x）+10，（2）当a2时，令m（x）=0，得，故当时，在上单调递减，又m（0）=0，当时，m（x）0，从而当
38、时，h（x）0，在上单调递增，又h（0）=0，从而当时，h（x）0，即于是当时，f（x）+10，综合得a的取值范围为2，+）解法二：（）当a=4时，f（x）=e2x（4x2+2x1），f（x）=e2x2（4x2+2x1）+e2x（8x+2）=2e2x（4x2+6x），设直线与曲线y=f（x）相切，其切点为（x0，f（x0），则曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为yf（x0）=f（x0）（xx0），因为切线过点P（1，0），所以f（x0）=f（x0）（1x0），即，设g（x）=8x314x+1，则g（x）=24x214，令g（x）=0得，当x变化时，g（x），g（x）变化情况如下
39、表：xg（x）+00+g（x）极大值极小值8x314x+1=0恰有三个根，故过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切 （）同解法一请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：sin2=cos，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1（）求曲线C1的直角坐标方程；（）已知直线l与曲线C1交于
40、A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（I）曲线C的极坐标方程为：sin2=cos，即2sin2=cos，化为直角坐标方程：y2=x，通过变换可得曲线C1的方程（II）直线l的极坐标方程为，展开可得：（cos+sin）2=0，利用互化公式可得直角坐标方程可得参数方程：（t为参数），代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t4=0，利用|PA|+|PB|=|t1t2|=即可得出【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为：sin2=cos，即2sin2=cos，化为直角坐标方程：y2=x将曲线C上所有点的横坐标缩短为原
41、来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1：y2=2（x1）（II）直线l的极坐标方程为，展开可得：（cos+sin）2=0，可得直角坐标方程：x+y2=0可得参数方程：（t为参数）代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t4=0解得t1+t2=2，t1t2=4|PA|+|PB|=|t1t2|=选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2xa|+|2x1|，aR（I）当a=3时，求关于x的不等式f（x）6的解集；（II）当xR时，f（x）a2a13，求实数a的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式【分析】（I）分类讨论，即可求关于x的不等式f（x）6
42、的解集；（II）当xR时，f（x）a2a13等价于|1a|a2a13，分类讨论，求实数a的取值范围【解答】解：（I）当a=3时，不等式f（x）6为|2x3|+|2x1|6若时，不等式可化为（2x3）（2x1）=4x+46，解得，若时，不等式可化为（2x3）+（2x1）=26，解得，若时，不等式可化为（2x3）+（2x1）=4x46，解得，综上所述，关于x的不等式f（x）6的解集为 （II）当xR时，f（x）=|2xa|+|2x1|2xa+12x|=|1a|，所以当xR时，f（x）a2a13等价于|1a|a2a13，当a1时，等价于1aa2a13，解得，当a1时，等价于a1a2a13，解得，所以a的取值范围为 2017年6月21日