1、第二章 函数、导数及其应用第10讲 导数的概念及运算考纲展示三年高考总结1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数.从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，对本节知识的考查主要是导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会做为解答题中的一问解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义
2、以及基本初等函数的求导法则，会求简单的复合函数的导数.考点多维探究考点 1 导数的定义及应用回扣教材1.平均变化率函数 yf(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为，若 xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2导数的概念一般地，函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是 limx0yx，称其为函数yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0.fx2fx1x2x1yxlimx0fx0 xfx0 x3导函数如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)在区间(a，b)内可导这样，对开区间(a，b)内每一个值 x，都对应一个确定的导数
3、 f(x)于是在区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 yf(x)的导函数，记为 f(x)或 y.f(x)小题快做1.思考辨析(1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0 附近的平均变化率()(2)f(x0)是导函数 f(x)在 xx0 处的函数值()(3)求 f(x0)时，可先求 f(x0)再求 f(x0)()2若函数 f(x)2x21 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则yx等于()A4 B4xC42x D42x2解析 利用导数定义，易得yxf1xf1x21x2121x42x，故选 C.3已知函数 f(x)3 x1，则 limx0f1xf1x的值为()A13
4、B.13C.23D0解析 由导数定义，limx0f1xf1x limx0f1xf1xf(1)，而 f(1)13，故选 A.4已知一个物体的运动方程为 s1tt2，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 s，那么物体在 4 s 末的瞬时速度是()A7 m/sB6 m/sC5 m/sD8 m/s解析 st7tt2t7t，当 t 无限趋近于 0 时，st无限趋近于 7.故选 A.典例1 (1)已知 f(2)2，f(2)3，则 limx2fx3x2 1 的值为()A1 B2C3 D4(2)设 f(x)为可导函数，且满足 limx0f1f12x2x1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为()
5、A2B1C1 D2解析(1)由已知可令 x2x，则 x2x，则原式变为 limx0f2xf2x1f(2)13，故选 C.(2)limx0f1f12x2x limx0f12xf12xf(1)1，由导数的几何意义知选 B.由定义求导数的方法及解题思路(1)导数定义中，x 在 x0 处的增量是相对的，可以是 x，也可以是 2x，解题时要将分子、分母中的增量统一(2)导数定义 limx0fx0 xfx0 xf(x0)等价于 limxx0fxfx0 xx0f(x0)(3)求函数 yf(x)在 xx0 处的导数的求解步骤：【跟踪训练】1用导数的定义求函数 y 1x在 x1 处的导数解 记 f(x)1x，则
6、 yf(1x)f(1)11x11 1x1x1 1x1 1x1x1 1xx1x1 1x，yx11x1 1x，limx0yx limx011x1 1x12.y|x112.考点多维探究考点 2 导数的运算回扣教材1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(Q)f(x)f(x)sinxf(x)f(x)cosxf(x)f(x)axf(x)f(x)exf(x)f(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)x1cosxsinxaxln a(a0 且 a1)ex1xln a1x2.导数的运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)fxgx(g(x)
7、0)3复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxgx2yuuxy对uu对x小题快做1.思考辨析(1)f(axb)f(axb)()(2)对于函数 f(x)x23x，由于 f(1)2，所以 f(1)20.()(3)若 f(x)f(a)x2ln x(a0)，则 f(x)2xf(a)1x.()2若 f(x)2xf(1)x2，则 f(0)等于()A2 B0C2 D4解析 f(x)2f(1)2x，则 f(1)2f(1)2，得 f(1)2，所以 f(0)2f
8、(1)04.3函数 f(x)sin22x3 的导数是()Af(x)2sin2x3Bf(x)4sin2x3Cf(x)sin4x23Df(x)2sin4x23解析 由于 f(x)sin22x31cos4x2321212cos4x23，f(x)412sin4x232sin4x23，故选 D.42015长春二模若函数 f(x)ln xx，则 f(2)_.1ln 24解析 由 f(x)1ln xx2，得 f(2)1ln 24.典例2 求下列函数的导数：(1)yln x1x；(2)ycosxex；解(1)yln x1x(ln x)1x 1x1x2.解(2)ycosxexcosxexcosxexex2sin
9、xcosxex.(3)y(x22x1)e2x；(4)y 3xe2x.解(3)y(x22x1)e2x(x22x1)(e2x)(2x2)e2x(x22x1)(e2x)(3x2)e2x.解(4)y12(3x)12 (3x)e2x(2x)12(3x)12 2e2x.导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导(2)方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式
10、转化为和或差的形式，再求导；复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.【跟踪训练】22015温州高三月考已知函数 f(x)的导函数 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)()Ae B1C1 De解析 f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)1x，f(1)2f(1)1，即 f(1)1.3求下列函数的导数：(1)y(x1)1x1；解(1)y x 1x x 1x1x12 x 12，y(x12)(x 12)12x 12 12x32 12 x11x.(2)yxsin2x2 cos2x2；解(2)yxsin2x2
11、 cos2x212xsin(4x)12xsin4x，y12sin4x12x4cos4x12sin4x2xcos4x.(3)ye2xe2xexex.解(3)ye2xe2xexexexex22exexexex2exexexex 2exe2x1，y(ex)(ex)2exe2x1 exex2exe2x12ex2e2xe2x12exex2ex1e2x1e2x2.考点多维探究考点 3 导数的几何意义回扣教材1.函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点处的(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为2必记结论(1)曲线 yf(x)在点 P(x
12、0，y0)处的切线是以点 P(x0，y0)为切点，以 f(x0)为斜率的直线，而曲线 yf(x)过点 P(x0，y0)的切线，点 P(x0，y0)不一定是切点(2)函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其中负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”P(x0，y0)切线的斜率yy0f(x0)(xx0)小题快做1.思考辨析(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(3)曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线与过点 P(x0，y0)的切线相同()2
13、2014大纲全国卷曲线 yxex1 在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2 D1解析 yxex1x(ex1)(1x)ex1，曲线在点(1,1)处的切线斜率为 y|x12.故选 C.32015陕西一检已知直线 yxm 是曲线 yx23ln x 的一条切线，则 m 的值为()A0 B2C1 D3解析 因为直线 yxm 是曲线 yx23ln x 的切线，所以令 y2x3x1，得 x1，x32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线 yxm 上，所以 m2，故选 B.4曲线 yx3x3 在点(1,3)处的切线方程为_2xy10解析 易知 y3x21，yx3x3 在点(1,3)处的切
14、线的斜率 k2，切线方程为 y32(x1)，即 2xy10.导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第1问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，且主要有以下几个命题角度.命题角度 1 求切点坐标典例3 2015陕西高考设曲线 yex 在点(0,1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线垂直，则P 的坐标为_(1,1)解析 函数 yex 的导函数为 yex，曲线 yex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1e01.设 P(x0，y0)(x00)，函数 y1x的导函数为 y 1x2，曲线 y1x(x0)在点
15、 P 处的切线的斜率 k2 1x20，则有 k1k21，即 1 1x20 1，解得 x201，又 x00，x01.又点 P 在曲线 y1x(x0)上，y01，故点 P 的坐标为(1,1)命题角度 2 求切线方程典例4 2014广东高考曲线 ye5x2 在点(0,3)处的切线方程为_5xy30解析 由 ye5x2y5e5x切线的斜率 ky|x05，于是切线方程为 y35(x0)5xy30.命题角度 3 求参数的值典例5 2014课标全国卷设曲线 yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为 y2x，则 a()A0 B1C2 D3解析 ya 1x1，当 x0 时，ya12，a3，故选 D.命题角
16、度 4 求与切线倾斜角的有关问题典例6 2015郑州模拟已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是_34，解析 y4ex1，y 4exex124exe2x2ex14ex1ex2.ex0，ex1ex2，当且仅当 ex1ex，即 x0 时等号成立y1,0)，tan1,0)又 0，)，34，.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知斜率求切点：已知斜率 k，求切点(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k.(2)求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)
17、(xx0)；求过某点 M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点 A(x0，f(x0)，则切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0.(3)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解注意 当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点(4)求切线倾斜角的取值或范围先求导数的取值或范围，即确定切线斜率的取值或范围，然后利用正切函数的单调性解决.【跟踪训练】42015洛阳期末函数 f(x)exsinx 的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A.34B.3C.4D.6解析
18、因为 f(x)exsinxexcosx，所以 f(0)1，即曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为 1，所以在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为4，故选 C.52015威海质检已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析 点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，y0 x0ln x0，y011ln x0 x0，解得 x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.故选 B.6
19、已知直线 ykxb 与曲线 yx3ax1 相切于点(2,3)，则 b 的值为()A3 B9C15 D7解析 将点(2,3)分别代入曲线 yx3ax1 和直线 ykxb，得 a3,2kb3.又 ky|x2(3x23)|x29，b32k31815.7若曲线 yex 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_(ln 2,2)解析 设 P(x0，y0)，y1ex，yex，点 P 处的切线斜率为 kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点 P 的坐标为(ln 2,2)方法与技巧1f(x0)代表函数 f(x)在 xx0 处的导数值；(f(x0)是函数值 f(x0)的导
20、数，而函数值 f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导3曲线的切线的求法若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解(1)当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为 yy0f(x0)(xx0)；(2)当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成
21、：第一步：设出切点坐标 P(x1，f(x1)；第二步：写出过 P(x1，f(x1)的切线方程为 yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1；第四步：将 x1 的值代入方程 yf(x1)f(x1)(xx1)，可得过点 P(x0，y0)的切线方程失误与防范导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导(2)利用导数公式求导数时，要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错(3)
22、直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线 yx3 在其过(0,0)点的切线 y0 的两侧微专题自我纠错求曲线切线方程考虑不周致误典例 2015杭州质检若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 f(x)x33x22x 和 yx2a 都相切，则a 的值是()A1 B.164C1 或 164D1 或 164错解 点 O(0,0)在曲线 f(x)x33x22x 上，直线 l 与曲线 yf(x)相切于点 O，则 kf(0)2，直线 l 方程为 y2x.又直
23、线 l 与曲线 yx2a 相切，x22xa0 满足 44a0，解得 a1，故选 A.错因分析 片面理解“过点 O(0,0)的直线与曲线 f(x)x33x22x 相切”，这里有两种可能：一是点O 是切点；二是点 O 不是切点，但曲线经过点 O，错解中忽视了第二种情况解析 易知点 O(0,0)在曲线 f(x)x33x22x 上(1)当 O(0,0)是切点时，解法同错解(2)当 O(0,0)不是切点时，设切点为 P(x0，y0)，则 y0 x303x202x0，且 kf(x0)3x206x02，又 ky0 x0 x203x02，联立解得 x032(x00 舍)即 k14，则直线 l 方程为 y14x.由y14xyx2a联立得 x214xa0，1164a0 得 a 164，综上，a1 或 a 164，故选 C.答题启示 求过点的曲线的切线方程时，要注意探求此点是否在曲线上是否为切点，然后再进行求解，否则易造成漏解课后课时作业