1、东北师大附中2007年4月高三教学质量检测 数学理科 2007.4 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，那么等于（ ） A B C D 2=（ ）ABi C1 D13在等差数列中，已知，那么等于（） A4 B6 C12 D164已知单位向量的夹角为，那么等于（ ）A B3 C D5表示平面，表示直线，则的一个充分不必要条件是（ ）A B且 C D6由5学生组成两个调查小组进行社会实践，其中甲、乙两人必须在同一组的
2、分组个数共有（ ）A4 B5 C6 D77已知抛物线，直线l过焦点F且与x轴不重合，则抛物线被l垂直平分的弦共有（）A不存在 B有且只有1条 C2条 D 3条8长方体的对角线长度是，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A B C D9在的展开式中，的系数是（）2,4,6A55 B45 C 25 D2510设函数，若，且，则mn的取值范围是（ ）A B C D11已知的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，若的面积，则等于（ ） A B C D112已知实系数方程的两个实根分别为，且，则的取值范围是 A BC D第卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，
3、每小题4分，共16分.13某校高三年级有1200人，某次考试中成绩为A等第的有120人，B等第的有840人，C等第的有240人.为了了解考试情况,从中抽取一个容量为200的样本,若采用*分层抽样方法,其中成绩一般的抽取人数是 人. 14等差数列的前项和为，且_15直线过双曲线的右焦点，方向向量为，若原点到直线的距离是原点到右准线距离的倍，则双曲线的离心率为_.2,4,616在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n人格点，则称函数为n阶格点函数，已知函数：；.其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确结论的序号都填上）三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写
4、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知，。记，并且的最小正周期为。 （1）求的最大值及取得最大值的的集合。 （2）将函数的图象按向量平移后得函数的图象，求的最小值18 (本小题满分12分)甲、乙两人射击(每次射击是相互独立事件)，规则如下：若某人一次击中，则由他继续射击；若一次不中，就由对方接替射击。已知甲、乙二人每次击中的概率均为，若两人合计共射击3次，且第一次由甲开始射击.求： （1）甲恰好击中2次的概率； （2）乙射击次数的分布列及期望.19(本小题满分12分)已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，P为中点，Q为中点。 （1）求证：平面； （
5、2）求二面角的正切值.2,4,620(本小题满分12分)已知函数.(1) 求函数的最大值；(2) 当时，求证.21(本小题满分12分)过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.（1） 求证：为定值；（2） 若，求动点的轨迹方程.22(本小题满分14分)设数列an的各项都是正数,且对任意都有a13+a23+ a33+ an3=Sn2,其中Sn为数列an的前n项和. (1)求证:an2=2Sn-an; (2)求数列an的通项公式; (3)设bn=3n+(-1)n-1(为非零整数, ),试确定的值,使得对任意,都有bn+1bn成立.参考答案一、选择题1B2A3A4C5D6D7A2,4,
6、68C9A10A11B12 A二、填空题13140；1412；1516三、解答题17 (本小题满分12分)解：（1）因为最小正周期为，所以 ， 易知, 即。（2）18（理）解：(1)记“甲同学恰好击中2次”为事件A，则 （2）的可能取值是0，1，2乙射击次数的分布列为：012P期望 19解：（1）因为面SAD面ABCD，面SAD面ABCDAD，SPAD，SP面SAD所以SP面ABCD所以SPBC又DAB60o所以PBBC且PBSPP所以BC平面SPB20解：由已知，其定义域为.，令，得.当时，；当时，所以在（1,0）单调递增，在（0，）单调递减，故当且仅当时，.（2）.， 由（1）知 ，另解：
7、令令 .成立。21解：设，则，由求导得 切线方程为 即 设切线与交于，与交于 得 得 = =2 （2）设， 又另解：（1）设直线AB：由得（2），所以四边形BOAM是平行四边形由及21解: (1)由已知,当n=1时,a13=a12, a10, a1=1 当n2时, a13+a23+ a33+ an3=Sn2, a13+a23+ a33+ an-13=Sn-12, 由-得, an3= Sn2- Sn-12= an(2Sn-1+an) an0, an2=2Sn-1+an,即an2=2Sn-an, 当n=1时, a1=1适合上式, an2=2Sn-an (2)由(1)知, an2=2Sn-an 当n2时, an-12=2Sn-1-an-1 由-得, an2 -an-12=2(Sn- Sn-1)-an+an-1= an+an-1 an0 an-an-1=1, 因此,数列 an 是首项为1,公差为1的等差数列, 故得an=n.(3)an=n, bn=3n+(-1)n-1. 要使bn+1bn恒成立,即,使bn+1-bn=3n+1+(-1)n-3n-(-1)n-1=23n-3(-1)n-12n0恒成立,