1、模块综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析两直线平行,斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,则SE=()A.13SA+12SB+13SCB.23SA+16SB
2、+16SCC.12SA+14SB+14SCD.12SA+13SB+16SC答案B解析四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,SE=SA+13AD=SA+1312(AC+AB)=SA+16AC+16AB=SA+16(SC-SA)+16(SB-SA)=23SA+16SB+16SC.3.圆P:(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q的标准方程是()A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y-5)2=1C.(x-2)2+(y+5)2=1D.(x-4)2+(y+3)2=1答案B解析圆P:(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关
3、于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a,b),则a-32+b+42-2=0,b-4a+3=1,解得a=-2,b=5,所求圆Q的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考,5)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.6答案C解析由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则|MF1|MF2|MF1|+|MF2|2=3,则|MF1|MF2|9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|MF2|的最大值为9.故选C.5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-
4、2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.2,32B.2,22C.22,32D.1,32答案A解析直线mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故OPM=90,所以P在以OM为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为2,根据点与圆的关系,|NQ|=(1+1)2+(1+1)2=22,故2=22-2|PQ|2+22=32.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若
5、灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cm答案A解析建立直角坐标系xOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p10,得p=5,则p2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA与直线AD所成角为,直线SA与平面ABCD所成角为,二面角S-AB-C的平面角为,则()A.B.C.D.答案C解析连接AC,BD,交于点O,连接OS,则OA,OB,OS两两
6、垂直,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S(0,0,2),A(2,0,0),D(0,-2,0),B(0,2,0),SA=(2,0,-2),AD=(-2,-2,0),SB=(0,2,-2),cos=|SAAD|SA|AD|=244=12,平面ABCD的法向量n=(0,0,1),cos=|nSA|n|SA|=24=22,设平面SAB的法向量m=(x,y,z),则mSA=2x-2z=0,mSB=2y-2z=0,取x=1,得m=(1,1,1),cos=|mn|m|n|=13=33,coscos.8.设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0
7、,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.3C.2D.2答案B解析由题可知|PF2|=b,|OF2|=c,|PO|=a.在RtPOF2中,cosPF2O=|PF2|OF2|=bc,在PF1F2中,cosPF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|F1F2|=bc,b2+4c2-(6a)22b2c=bcc2=3a2,e=3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.(2021新高
8、考,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当PBA最小时,|PB|=32D.当PBA最大时,|PB|=32答案ACD解析如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.由条件得,直线AB的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=|5+25-4|12+22=115,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=115-4,最大值为|P1N|=|
9、MN|+r=115+4.又115-42,115+415,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为45-15=55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面过直线l与点M(1,2,3),则平面的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.14,-1,12C.-14,1,-12D.(0,-1,1)答案ABC解析由题意可知,所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM,而PM=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)(1,-4,2)=0,(0,2,4)(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)14,-1,12
10、=0,(0,2,4)14,-1,12=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)-14,1,-12=0,(0,2,4)-14,1,-12=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)(0,-1,1)=0,但(0,2,4)(0,-1,1)0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.答案22解析过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,2)的连线垂直的直线,连线的斜率是2-01-2=-2,直线
11、l的斜率k=22.14.(2021新高考,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.答案x=-32解析PFx轴,xP=xF=p2,将xP=p2代入y2=2px,得y=p.不妨设点P在x轴的上方,则Pp2,p,即|PF|=p.如图,由条件得,PFOQFP,|OF|PF|=|PF|QF|,即p2p=p6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的
12、余弦值是.答案333解析以C为原点建立如图空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(1,0,0),C1(0,0,1),A1(0,1,1),B1(1,0,1),BC1=(-1,0,1),A1B1=(1,-1,0),AB=(1,-1,0).由cos=|-1|22|=12,故异面直线BC1与A1B1所成角为3,设平面ABC1的一个法向量为m=(a,b,c),由mBC1=-a+c=0,mAB=a-b=0,设a=1,得m=(1,1,1),平面BC1C的一个法向量n=(0,1,0),cos=13=33.16.已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,|A
13、B|=8,则p=,M为抛物线弧AOB上的动点,AMB面积的最大值是.答案242解析抛物线的方程为x2=2py(p0),过抛物线的焦点F,且斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,故直线AB的方程为y-p2=x-0,即y=x+p2,且直线AB的倾斜角为45.代入抛物线的方程x2=2py,可得x2-2px-p2=0.设A,B两点的横坐标分别为m,n,mb0)过点A(-2,0),点B为其上顶点,且直线AB的斜率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为第四象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积是定值.(1)解由题意,设直线AB:y-0=32(
14、x+2),令x=0,则y=3,于是B(0,3),所以a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设P(x0,y0)(x00,y00).ABC=120,BAD=60,OA=3t.由(1)知PO平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为PAO=30,得到PO=t,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,t,0),C(-3t,0,0),P(0,0,t),D(0,-t,0),得到BP=(0,-t,t),CP=(3t,0,t).设平面PBC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面PCD的法向量n2=(x2,y2,z2).则n1BP=0,n1CP=0,即-ty1+tz1=0,3tx1+tz1
15、=0.令x=1,则y=z=-3,得到n1=(1,-3,-3).同理可得n2=(1,3,-3),所以|cos|=|n1n2|n1|n2|=17.因为二面角B-PC-D为钝二面角,则余弦值为-17.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线:y=x2-mx+2m(mR)与x轴交于不同的两点A,B,曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点,并求出该定点的坐标.解(1)由曲线:y=x2-mx+2m(mR),令y=0,得x2-mx+2m=0.设A(x1,0),B(x2,0),则可得=m2-8m0,x
16、1+x2=m,x1x2=2m.令x=0,得y=2m,即C(0,2m).若存在以AB为直径的圆过点C,则ACBC=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0或m=-12.由0,得m8,所以m=-12,此时C(0,-1),AB的中点M-14,0即圆心,半径r=|CM|=174.故所求圆的方程为x+142+y2=1716.(2)设过A,B,C的圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2满足(x1-a)2+b2=r2,(x2-a)2+b2=r2,a2+(2m-b)2=r2,x1x2=2m,x1+x2=ma=m2,r2=5m24-m+14,b=m+12,代入P得x-m22+y-m-12
17、2=5m24-m+14,展开得(-x-2y+2)m+x2+y2-y=0,当-x-2y+2=0,x2+y2-y=0,即x=0,y=1或x=25,y=45时方程恒成立,圆P方程恒过定点(0,1)或25,45.22.(12分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l至少是多少米?(结果取整数)(2)如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数)参考数据:113.3,椭圆的面积公式为S=ab,其中a,b分别为椭圆的长半轴和短半轴
18、长.解(1)建立直角坐标系xOy如图所示,则点P(6,5)在椭圆x2a2+y2b2=1上,将b=h=6与点P(6,5)代入椭圆方程,得a=3611,此时l=2a=721121.8,因此隧道设计的拱宽l至少是22米.(2)由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得36a2+25b21,因为136a2+25b2265ab,即ab60,S=ab230,当且仅当6a=5b时,等号成立.由于隧道长度为1.5千米,故隧道的土方工程量V=1.5S45,当V取得最小值时,有6a=5b,且ab=60,得a=62,b=52,此时l=2a=12216.97,h=b7.07.若h=b=8,此时l=2a=17,此时V1=3ab4=31788=51,若h=b=7,此时l=2a=18,此时V2=3ab4=3974=47.25,因为V1V2,故当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小.
