1、单元质量评估(三) (第三讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为()A.2B.4C.8D.16【解析】选B.由柯西不等式,(mt+ns)2(m2+n2)(t2+s2)=16,得|mt+ns|4,当且仅当ms=nt时等号成立.2.(2016深圳高二检测)函数y=+2的最大值为()A.B.C.3D.5【解析】选B.根据柯西不等式,有(1+4)(x-5)+(6-x)=5,所以y=+2.3.设a,b,c0,且a+b+c=1,则+的最大值是()A.1B
2、.C.3D.9【解析】选B.由柯西不等式得()2+()2+()2(12+12+12)(+)2,所以(+)213=3.当且仅当a=b=c=时等号成立.故+的最大值为.4.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.【解析】选C.设n个正数为x1,x2,xn.由柯西不等式得:(x1+x2+xn)(+)=(1+1+1)2=n2.当且仅当x1=x2=xn时取等号.5.(2016石家庄高二检测)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,则+的最大值为()A.3B.3C.18D.9【解析】选B.根据柯西不等式,+=3,当且仅当a=b=c=时,等号成立.6.(2016西宁高二检测
3、)已知a,b,x1,x2R+,ab=1,x1+x2=2,则M=(ax1+bx2)(bx1+ax2)与4的大小关系是()A.M4B.M4C.M4D.M4【解析】选C.(ax1+bx2)(bx1+ax2)=()2+()2()2+()2(x1+x2)2=(x1+x2)2=4.7.设a1,a2,a3为正数,E=+,F=a1+a2+a3,则E,F的大小关系是()A.E0,于是,a2a3a3a1a1a2.由排序不等式:顺序和乱序和,得+a2a3+a3a1+a1a2=a3+a1+a2,即+a1+a2+a3.所以EF.8.(2016武汉高二检测)已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取得最小值时的x,
4、y,z的值分别为()A.,B.,C.1,D.1,【解析】选B.(x2+y2+z2)(4+9+16)(2x+3y+4z)2=100,当且仅当=且2x+3y+4z=10时等号成立,此时x=,y=,z=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们等候的总时间最短为s.【解析】由题意知,等候的时间最短为34+43+52+7=41.答案:4110.(2016盐城高二检测)正数a,b,c满足a+b+4c=1,则+的最大值为.【解析】(1+1+)(a+b+4c
5、)=,所以+.答案:11.(2016昆明高二检测)已知0x1,0y0,于是,又c0,所以0,从而.同理,因为bc0,于是,因为a0,所以0,于是得.从而.(2)由(1),于是顺序和乱序和得,+=+=+=+.16.(10分)设c1,c2,cn为正数组a1,a2,an的某一排列,求证:+n.【证明】不妨设0a1a2an,则.因为,是,的一个排列,故由排序原理,反序和乱序和得a1+a2+ana1+a2+an.即+n.17.(10分)(2016徐州高二检测)已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值.(2)若a,b,cR+,且+=m,求证:a+2b+3c9.【解析】(1)因为f(x+2)=m-|x|0,等价于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集为x|-mxm,又f(x+2)0的解集为-1,1,故m=1.(2)由(1)知+=1,又a,b,cR+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)=9.18.(10分)(2016广州高二检测)设a1,a2,an为1,2,3,n的一个排列.求证:+.【证明】设b1,b2,bn-1是a1,a2,an-1的一个排列且b1b2bn-1,c1,c2,cn-1是a1,a2,an-1的另一个排列且c1c2.由乱序和反序和,得+.因为b11,b22,bn-1n-1,c12,c23,cn-1n,所以+.即+.