1、第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为()A.y2-3x2=36B.x2-3y2=36C.3y2-x2=36D.3x2-y2=36答案A解析椭圆的标准方程为y264+x216=1,焦点为(0,43),离心率为32,则双曲线的焦点在y轴上,c=43,e=23,从而a=6,b2=12,故所求双曲线的方程为y2-3x2=36.2.(多选)当4,34时,方程x2sin +y2cos =1表示的轨迹可以是()A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线答案ACD解析
2、当4,34时,sin22,1,cos-22,22,可得方程x2sin+y2cos=1表示的曲线可以是椭圆(sin0,cos0).也可以是双曲线(sin0,cos0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x23-y22=1C.x2-y24=1D.x22-y23=1答案C解析由题意得|PF1|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=25,解得a2=1,b2=4,则该双曲线的方程为x2-y24=1.4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中
3、点N到坐标原点O的距离为()A.3或7B.6或14C.3D.7答案A解析设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是PF1F2的中位线,|ON|=12|PF2|,|PF1|-|PF2|=4,|PF1|=10,|PF2|=14或6,|ON|=12|PF2|=7或3.5.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.|MO2|-|MO1
4、|=1,又|O1O2|=4,动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).6.已知双曲线x2m-y2n=1(m0,n0)和椭圆x25+y22=1有相同的焦点,则4m+1n的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案B解析由题意,双曲线x2m-y2n=1(m0,n0)和椭圆x25+y22=1有相同的焦点,m+n=5-2=3,4m+1n=13(m+n)4m+1n=135+4nm+mn135+24nmmn=3,当且仅当4nm=mn,即m=2n时等号成立,故4m+1n的最小值为3.7.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足|PF1|-|PF2|=d的所有P点组成的图形,又令C
5、为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有(写出所有正确结论的编号).当d=0时,D为直线;当d=1时,D为双曲线;当d=2时,D与圆C交于两点;当d=4时,D与圆C交于四点;当d4时,D不存在.答案解析当d=0时,D为线段F1F2的垂直平分线,正确;当d=1时,|PF1|-|PF2|=d4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,D不存在,正确.8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.答案x216-y29=1解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c0),则由QF1QF2,得kQF1kQF2=-1,5c5
6、-c=-1,c=5.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),双曲线过点(42,-3),32a2-9b2=1,又c2=a2+b2=25,a2=16,b2=9,双曲线的标准方程为x216-y29=1.9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x216-y29=1,则c2=16+9=25,c=5.设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为x2a2-y225-a2=1.点P-52,-6在所求双曲线上,-522a2-(-6)225-a2=1,化简得4a4-129a
7、2+125=0,解得a2=1或a2=1254.当a2=1254时,a2c2,不合题意,舍去,a2=1,b2=24,所求双曲线的标准方程为x2-y224=1.10.如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,|MF2|-|MF1|=310=|F1F2|.点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=
8、32,c=5,于是b2=c2-a2=914.动圆圆心M的轨迹方程为x294-y2914=1x-32.关键能力提升练11.(多选)已知方程x24-t+y2t-1=1表示曲线C,则下列判断正确的是()A.当1t4或t1时,曲线C表示双曲线C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1t4答案BCD解析由圆的定义可知,当4-t=t-1时,得t=52,此时方程x24-t+y2t-1=1表示圆,故A选项错误;由双曲线的定义可知,当(4-t)(t-1)0时,即t4时,方程x24-t+y2t-1=1表示双曲线,故B选项正确;由椭圆的定义可知,当椭圆焦点在x轴上时,满足4-tt-10,解得1t52,故C选项正确;当
9、曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则4-t0,解得t4,故D选项正确.综上所述,正确的选项为BCD.12.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为21,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是()A.x2-y24=1B.x2-y29=1C.x2-y215=1D.x2-y224=1答案A解析若双曲线的方程为x2-y24=1,则a=1,c=5,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-5)2+y2=4,与双曲线方程4x2-y2=4联立可得5x2-25x-3=0,其判别式=20+60=800,故存在“L点”.13.已
10、知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,F1关于N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案B解析连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,|MF2|=2.F1关于N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,|PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=20,b0).由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2-a2=100-4
11、=96,故所求方程为x24-y296=1.17.已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点M在双曲线上,且MF1MF2=0,求M点到x轴的距离;(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.解(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,MF1MF2=0,则MF1MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,又m2+n2=(2c)2=80,由得mn=8,12mn=4=12|F1F2|h,h=255.(2)设所求双曲线C的方程为x216-y24+=1(-416),由于双曲线C过点(32,2
12、),1816-44+=1,解得=4或=-14(舍去),所求双曲线C的方程为x212-y28=1.学科素养拔高练18.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且PF1PF2=0,则|PF1+PF2|=()A.25B.5C.210D.10答案C解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-10,0),F2(10,0).设点P(x,y),则PF1=(-10-x,-y),PF2=(10-x,-y).PF1PF2=0,x2+y2-10=0,即x2+y2=10.|PF1+PF2|=|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=2(x2+y2)+20=210.19.设以O为中心
13、,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示.已知OFQ的面积为26,且OFFQ=m,其中O为坐标原点.(1)设6m46,求OF与FQ的夹角的正切值的取值范围;(2)设|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为12|OF|FQ|sin(-)=26,|OF|FQ|cos=m,所以tan=46m.又6m46,所以1tan0,b0),Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1),所以SOFQ=12|OF|y1|=26,则y1=46c.又OFFQ=m,即(c,0)(x1-c,y1)=64-1c2,解得x1=64c,所以|OQ|=x12+y12=38c2+96c212=23,当且仅当c=4时,取等号,|OQ|最小.这时Q的坐标为(6,6)或(6,-6).因为6a2-6b2=1,a2+b2=16,所以a2=4,b2=12,于是所求双曲线的标准方程为x24-y212=1.