1、北京市朝阳区2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科） 20155第一部分（选择题 共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1已知集合，集合，则（ ） B C D【答案】A【解析】试题分析：,所以，故选A.考点：1.二次不等式；2.集合运算.2执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（ ）A7 B10 C66 D166【答案】B考点：程序框图.3设为虚数单位，“复数是纯虚数”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B考点：1.充分条件与必要条件；2.复数相关概念.4已
2、知平面上三点A，B，C，满足，则= （ ）A48 B-48 C100 D-100【答案】D【解析】试题分析：如下图所示，由题意可知，所以，所以，故选D.考点：1.向量数量积的几何运算；2.直角三角形中三角函数定义.5已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（ ）A2 B4 C D2 【答案】A考点：三角函数的图象与性质.6已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P若，则双曲线的渐近线方程为（ ）【答案】C【解析】试题分析：抛物线的焦点为，准线方程为，设，则，所以，又因为点在双曲线上，所以，解之得，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.考点： 双曲线、抛物线的几何性质.7已知
3、函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）【答案】D【解析】试题分析：，所以在区间上是增函数，又，所以是奇函数，所以对任意恒成立，设，由得，故选D.考点：1.函数单调性；2.函数奇偶性；3.函数与不等式.8如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（ ）【答案】B【解析】试题分析：以点为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，则，设，折痕为则点关于直线对称，线段有上点为，直线的斜率为，所以线段的中垂线的方程为，令得，令得，所以被折起部分的面积为，所以当时，面积有最小值,故选B.考点：1.平面解析几何基本思想；2.直线方程；3.二次函数.
4、第卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分9展开式中含项的系数是_【答案】【解析】试题分析：展开式的通项为：，当时，所以的系数为.考点：二项式定理.10已知圆C的圆心在直线xy=0上，且圆C与两条直线xy=0和xy12=0都相切，则圆C的标准方程是_【答案】【解析】试题分析：由题意可设圆心为，半径为，则，解之得，所以半径，所以圆的方程为.考点：直线与圆的方程.11如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B若AM=2，则AD=_ 【答案】【解析】试题分析：因为，所以为等边三角形，所以，由割线定理得 即，所以，解
5、之得.考点:圆的性质.12某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为_ 【答案】【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面是菱形，且顶点在底面上和射影为底面对角线的交点，且，为线段的中点，所以，所以该几何体的侧面积为.考点：1.三视图；2.多面体的表面积.13已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为_；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是_【答案】,考点：1.对数函数性质；2.求数列通项；3.数列单调性.14设集合，集合A中所有元素的个数为_；集合A 中满足条件“”的元素个数为_ 【答案】【解析】试题分析：确定集合中的元素，需要确定三个数，第一步先确定，有三种不同的确定方法，第二步
6、确定元素，有三种不同的确定方法，第三步确定元素，有三种不同的确定方法，由分步计数原理可知集合共有中的元素共有个;在这个元素中，满足只有一个元素，若，则三个数是的每一个数均在中选择一个即可，即满足的元素共有个，所以满足共有个.考点：1.集合的表示;2.分步计数原理.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题共13分）在梯形ABCD中，（）求AC的长；（）求梯形ABCD的高 【答案】（）;（）.考点：正弦定理与余弦定理的应用.16（本小题共13分）某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加
7、测试，选择A，B，C三题答卷数如下表： （）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（）若在（）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX 【答案】（）5份、2份；（）；（）随机变量的分布列为：【解析】试题分析：（
8、）由分层抽样的定义安比例可计算选择B、C作答的答卷中抽出的份数；（）因为C题答卷中2份均为优，所以A、B中抽出的一份一定不是优，由古典概型计算法则可求概率；（）B题答案得优的概率为，所以，则二项分布公式直接计算即可.试题解析：（）由题意可得：题ABC答卷数180300230抽出的答卷数352应分别从题的答卷中抽出份，份（）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意（）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且; ;随机变量的分布列为：所以(或).考点：1.分层抽样；2.古典概型；3.二项分布.17（本小题共1
9、4分）如图，在直角梯形ABCD中，直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD（）求证：；（）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）若直线 平面MNH，求MH的长 【答案】（）见解析；（）；（）.【解析】试题分析：（）先证平面平面，通过面面垂直性质可证结论成立；（）（）由（1）及已知可得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，由空间向量直接计算即可.试题解析：（）由已知得，因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以（）由（1）知平面所以,，由已知，所以两两垂直以为原点建立空间直角
10、坐标系（如图） 因为，则，所以，设平面的一个法向量所以，即令，则设直线与平面所成角为，因为，所以所以直线和平面所成角的正弦值为（）在为原点的空间直角坐标系中，设，即，则，若平面，则即解得则考点：1.面面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.18（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为（）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由 【答案】（）;（）过定点.【解析】试题分析：（）将椭圆方程化为标准方程，求出即可；（）设出直线的方程与椭圆方程联立，由斜率这积为得到的关系
11、式，可验证直线是否过定点.试题解析：（）椭圆的方程可化为，则故离心率为，焦点坐标为故直线过定点考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.19（本小题共14分）已知函数（）当时，求函数的单调区间；（）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（）若函数有两个不同的极值点，求证：【答案】（）的单调增区间为，单调减区间为；（）；（）见解析.【解析】试题分析：（）求导，由导数在各个区间上的符号讨论函数的单调性即可；（）求导，令，由与符号一致，由在区间的符号正有负求的范围即可；（）求导，由导数有两个零点求出的范围，再求出函数的极大值与极小值计算即可.试题解析：（）当时，由，解得或
12、当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增所以的单调增区间为，单调减区间为（）因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得由，解得此时随着变化，和的变化情况如下：+极大值极小值所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数极值；3.不等式性质.20（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，n的一个全排列若对每个都有或3，则称为H数列（）写出满足的所有H数列；（）写出一个满足的数列的通项公式；（）在H数列中，记若数列是公差为d的等差数列，求证：或 【答案】（）;（）（其中）或（其中）（）见解析
13、.【解析】试题分析：（）由定义直接写出即可；（）先写出符合条件的，归纳规律可写出相应的通项公式；（）先求出公差，写出符合条件的所有解，再逐个讨论可知只能为或.试题解析：（）满足条件的数列有两个： ;（）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，即得数列其中如此下去即可得到一个满足的数列为： （其中）（写出此通项也可以（其中）（）由题意知，且有解：，则，这与是矛盾的时，与类似可得不成立时，则不可能成立时，若或，则或若或，则,类似于可知不成立时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或考点：1.新定义数列问题；2.等差数列的定义与通项公式.