1、第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知直线l1:x+my+7=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则实数m等于()A.-1或3B.-1C.-3D.1或-3答案A2.下列四组直线中,互相垂直的一组是()A.2x+y-1=0与2x-y-1=0B.2x+y-1=0与x-2y+1=0C.x+2y-1=0与x-y-1=0D.x+y=0与x+y-3=0答案B解析对于A,2x+y-1=0与2x-y-1=0,有22+1(-1)0,两直线不垂直,不符合题意;对于B,2x+y-1=0与x-2y+1=0,有21+1(-2)=0,两直线垂直,符
2、合题意;对于C,x+2y-1=0与x-y-1=0,有11+2(-1)0,两直线不垂直,不符合题意;对于D,x+y=0与x+y-3=0,两直线平行,不符合题意.故选B.3.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5答案B解析可以先求出AB的中点坐标为2,32,又直线AB的斜率k=1-23-1=-12,则线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y=5.4.已知A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则直线l的方程是()A.5x+6
3、y-11=0B.5x-6y+1=0C.6x+5y-11=0D.6x-5y-1=0答案D5.已知l平行于直线3x+4y-5=0,且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24,则直线l的方程是()A.3x+4y-122=0B.3x+4y+122=0C.3x+4y-24=0D.3x+4y+24=0答案C解析设直线l的方程是3x+4y-c=0,c0,由题意,知12c3c4=24,所以c=24.6.已知在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为.答案(3,-6)解析设D(x,y),由题意可知,ABCD,且ADBC.所以kAB=kCD,且kAD=kBC,所
4、以3-1-2-1=y+4x,-4-30+2=y-1x-1,解得x=3,y=-6.所以点D的坐标为(3,-6).7.若经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是.答案145解析由题意可知kl=14,又因为kl=m-32-m,所以m-32-m=14,解得m=145.8.设直线l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l2:2x+(a+2)y+1=0,若l1l2,则实数a的值为;若l1l2,则实数a的值为.答案-85-4解析若l1l2,则2(a+1)+3(a+2)=0,整理可得5a+8=0,求解关于实数a的方程可得a=-85.若l1l2,则a+12=3a+22-a1,
5、据此可得a=-4.9.已知ABC的三个顶点A(1,1),B(4,0),C(3,2),求BC边上的高所在的直线方程及高的长度.解设BC边上的高为AD,因为kBC=2-03-4=-2,ADBC,所以直线AD的斜率kAD=12.所以BC边上的高AD所在的直线方程为y-1=12(x-1),即x-2y+1=0.又直线BC的方程为y-20-2=x-34-3,即2x+y-8=0.联立直线AD与BC的方程得x-2y+1=0,2x+y-8=0,解得x=3,y=2,即点D的坐标为(3,2).因此,高AD的长|AD|=(3-1)2+(2-1)2=5,所以BC边上的高的长度为5.10.如图,P是正方形ABCD的对角线
6、BD上一点(不含端点),四边形PECF是矩形.证明:PAEF.证明如图,以B为原点,以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则P点坐标为(x,x)(0x1),则A(0,1),E(1,x),F(x,0),kPA=1-x0-x=x-1x,kEF=x1-x,所以kPAkEF=-1.所以PAEF.关键能力提升练11.已知直线l1:xsin +y-1=0,直线l2:x-3ycos +1=0.若l1l2,则sin 2=()A.35B.-35C.23D.-23答案A解析l1l2,sin-3cos=0,即tan=3.sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2tan1+t
7、an2=610=35.12.将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(4,0)重合,若此时点C(7,3)与点D(m,n)也重合,则m+n的值为()A.345B.335C.325D.315答案A解析根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称,则点C与点D也关于直线l对称.易知kAB=-12,所以直线l的斜率为2,又易知AB的中点坐标为(2,1),则直线l的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3,因为CD中点7+m2,3+n2在直线l上,且kCD=-12,所以可列方程组为n-3m-7=-12,3+n2=7+m-3,解得m=35,n=315,所以m+n=345.13.已知点O
8、(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+1aC.(b-a3)b-a3-1a=0D.|b-a3|+b-a3-1a=0答案C解析若O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意;若A为直角顶点,则b=a30;若B为直角顶点,根据斜率关系可知a2a3-ba=-1(a0),所以a(a3-b)=-1,即b-a3-1a=0.以上两种情况皆有可能,故只有C满足条件.14.已知直线l的倾斜角为34,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:4x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于.答案-4解析因为
9、直线l的倾斜角为34,所以直线l的斜率k=-1.又l1与l垂直,所以直线l1的斜率k1=-1k=1,即2+13-a=1,解得a=0,且l2与l1平行,则k2=-4b=k1=1,所以b=-4,故a+b=-4.15.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角为.答案45解析由kPQ=(a+1)-b(b-1)-a=a-b+1b-a-1=-1,由题意知PQl,则kPQkl=-1,得kl=1,直线l的倾斜角为45.16.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=.答案-34或-32解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=
10、0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3l1或l3l2.由l3l1,得223m=-1,m=-34;由l3l2,得123m=-1,m=-32.故m=-34或-32.17.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,求证:BFAE.证明建立平面直角坐标系,如图所示,则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),所以kAE=24=12,kBF=4-02-4=-2.又kAEkBF=12(-2)=-1,所以AEBF.18.求经过点A(2,1)且与直线2x+ay-10=0垂直的直线l的方程.解(方法一)当a=0时,已知直线化为
11、x=5,此时直线斜率不存在,则所求直线l的斜率为0,因为直线l过点A(2,1),所以直线l的方程为y-1=0(x-2),即y=1.当a0时,已知直线2x+ay-10=0的斜率为-2a,因为直线l与已知直线垂直,设直线l的斜率为k,所以k-2a=-1,所以k=a2.因为直线l过点A(2,1),所以所求直线l的方程为y-1=a2(x-2),即ax-2y-2a+2=0.所求直线l的方程为y=1或ax-2y-2a+2=0.又y=1是ax-2y-2a+2=0的一个特例,故所求直线l的方程为ax-2y-2a+2=0.(方法二)根据与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.因此根据题意
12、可设所求方程为ax-2y+m=0,又因为该直线过点A(2,1),所以2a-2+m=0,即m=2-2a.所以所求方程为ax-2y-2a+2=0.19.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得AC与DM两条小路互相垂直?解如图所示,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),ACDM,kACkDM=-1,即3-00-53-05-x=-1
13、,解得x=165.故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.学科素养拔高练20.已知P(2,3)是两条直线l1:a1x+b1y+1=0与l2:a2x+b2y+1=0的交点,试求过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程.解(方法一)因为P(2,3)是两条直线的交点,所以2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0,两式相减,得2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即b1-b2a1-a2=-23.所以直线AB的斜率k=b1-b2a1-a2=-23.故所求直线的方程为y-b1=b1-b2a1-a2(x-a1)=-23(x-a1).所以2x+3y-(3b1+2a1)=0.又2
14、a1+3b1=-1,所以2x+3y+1=0.故过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线的方程为2x+3y+1=0.(方法二)由两直线过P(2,3)知2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.由上述方程组可知点A(a1,b1)与B(a2,b2)在直线2x+3y+1=0上.故过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程为2x+3y+1=0.21.已知点A(4,-1)和点B(8,2)均在直线l:x-y-1=0的同侧,动点P(x,y)在直线l上,求|PA|+|PB|的最小值.解如图所示,设点A1与A关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|=|PA|.在A1PB中,|PA1|+|PB|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|,因此当P点运动到P0点处时,|PA|+|PB|取到最小值|A1B|.设A关于直线l的对称点A1(x1,y1),则y1+1x1-41=-1,x1+42-y1-12-1=0,解得x1=0,y1=3,所以A1(0,3).所以(|PA|+|PB|)min=|A1B|=82+12=65.