1、等差数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1在等差数列an中，a1a910，则a5的值为()A5B6C8D10A由a1a92a510得a55，故选A2如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14 B21 C28 D35C由题意可知a3a4a53a412，即a44，又a1a2a73(a1a7)a47a4，a1a2a77428，故选C3在数列an中且a2 020，a2 022，则a2 023()A B C D3C由知，数列是等差数列，则其公差d因此d3，所以a2 023故选C4下列说法中正确的是()A若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B若a，b，c成等差数
2、列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列D若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列C由a，b，c成等差数列知2bac，所以2(b2)a2c2，所以a2，b2，c2成等差数列5在古老的数学著作中，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为()A B C DA设五个人分得的面包为a2d，ad，a，ad，a2d(d0)，则(a2d)(ad)aada2d5a100，a20，由(aada2d)a2dad得3a3d7(2a3d)，24d11a，d
3、，最小的一份为a2d20故选A二、填空题6方程x26x10的两根的等差中项为_3设方程x26x10的两根分别为x1，x2，则x1x26，所以x1，x2的等差中项为A37设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37_100an，bn都是等差数列，anbn也是等差数列又a1b1100，a2b2100，anbn100，故a37b371008已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a122，a311，a347，那么a32_，a22_3设第三行的四个数的公差为d3，由a311，a347，得d32，所以a32123因为第二列的四个数成等差数列，所以a22
4、是a12，a32的等差中项，所以a22三、解答题9四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1又四个数成递增等差数列，d1故所求的四个数为2，0，2，410(1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8的值；(2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值解(1)法一：根据等差数列的性质a2a10a4a82a6，由a2a6a101，得3a61，解得a6，a4a82a6法二：设公
5、差为d，根据等差数列的通项公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d，由题意知，3a115d1，即a15da4a82a110d2(a15d)(2)设公差为d，a1a32a2，a1a2a3153a2，a25又a1a2a380，an是公差为正数的等差数列，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12a133a121051南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”
6、现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为()A99B131C139D141D设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则故选D2(多选题)设an是等差数列，则下列结论中错误的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1D若a10ABD若等差数列是an53n，满足a1a22(1)10，但a2a3(1)(4)50，A错误；an53n也满足a1a32(4)20，B错误；若0a1，C正确；设等差数列an
7、的公差为d，则(a2a1)(a2a3)d20，D错误故选ABD3若方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|_设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1a4a2a32，再设此等差数列的公差为d，则2a13d2，a1，d，a2，a31，a4|mn|a1a4a2a3|4在数列an中，a22，a60，且数列是等差数列，则a4_，an_由题意可知，解得a4又(n2)，an1在数列an中，已知a15，且an2an12n1(n2，且nN)(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)因为a15，所以a22a122113，a32a223133(2)假设存在实数，使得数列为等差数列，则，成等差数列，所以2，即解得1当1时，(an11)2(an1)(an12an1)(2an2n11)2an12n11综上可知，存在实数1，使得数列为等差数列