1、2017年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合A=x|x=2n，nN*，B=x2，则AB=（）A2B2，4C2，3，4D1，2，3，42已知复数z满足（1i）z=i，则复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知命题p：对任意xR，总有2xx2；q：“ab1“是“a1，b1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq4已知函数f（x）=logax（0a1），则函数y=f（|x|+1）的图象大致为（）ABCD5如图正方形的曲线C是以
2、1为直径的半圆，从区间0，1上取1600个随机数x1，x2，x800，y1，y2，y800，已知800个点（x1，y1），（x2，y2），（x800，y800）落在阴影部分阴影部分的个数为m，则m的估计值为（）A157B314C486D6286运行如图的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n的值是（）A5B6C7D87下列结论中错误的是（）A若0，则sintanB若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C若角的终边过点P（3k，4k）（k0），则sin=D若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16B8CD9已知双曲线=
3、1（a0，b0）的一条渐近线被圆（xc）2+y2=4a2截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）ABCD10已知函数y=f（x）满足f（2+x）+f（2x）=0，g（x）=，若曲线y=f（x）与y=g（x）交于A1（x1，y1），A2（x2，y2），An（xn，yn），则（xi+yi）等于（）A4nB2nCnD0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11已知向量，其中|=2，|=1，且（+），则|2|=12已知正数a，b满足4a+b=ab，则a+b的最小值为13设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2xy的最小值为14已知抛物线C：y2=4x的焦点F，
4、直线mn过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，D为线段MF上一点，且|MD|=2|NF|，若|DF|=1，则|MF|=15对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=具有性质P，则实数a的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共75分解答写出文字说明、证明过程或演算过程16在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB=a（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=tanAsinxcosxcos2x（0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将
5、函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间，上值域17空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数空气质量分分级与AQI大小关系如表所示：AQI05051100101150151200201300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某环保人士从2016年11月甲地的AQI记录数据轴，随机抽取了7天的AQI数据，用茎叶图记录如下：（）若甲地每年同期的空气质量状况变化不大，请根据统计数据估计2017年11月甲地空气质量为良的天数（结果精确到天）；（）从甲地的这7个数据中任意抽取2个，求AQI均
6、超过100的概率18在如图所示的空间几何体中，EC平面ABCD，四边形ABCD是菱形，CEBF，且CE=2BF，G，H，P分别为AF，DE，AE的中点求证：（）GH平面BCEF；（）FP平面ACE19已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，数列bn是公比大于0的等比数列，且b1=2a1=2，a3+b2=1，S3+2b3=7（）求数列an和bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Tn20设f（x）=ax2a+，g（x）=+lnx（）设h（x）=f（x）g（x）+，讨论y=h（x）的单调性；（）证明：对任意a（，），x（1，+），使f（x）g（x）成立21已知椭圆C与双曲线y2x2=1
7、有共同焦点，且离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）若A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1（i）求证：直线MN恒过定点，并求出该定点坐标；（ii）若O为坐标原点，求的取值范围2017年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合A=x|x=2n，nN*，B=x2，则AB=（）A2B2，4C2，3，4D1，2，3，4【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：A=x|x=2n，nN*=2，4，6
8、，B=x2=x|0x4，AB=2，4，故选：B2已知复数z满足（1i）z=i，则复数在复平面内的对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：（1i）z=i，（1+i）（1i）z=i（1+i），2z=i1，z=+i则复数=i在复平面内的对应点位于第三象限故选：C3已知命题p：对任意xR，总有2xx2；q：“ab1“是“a1，b1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【分析】命题p：是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等q：由“a1
9、，b1”：“ab1”；反之不成立，例如取a=10，b=进而判断出结论【解答】解：命题p：对任意xR，总有2xx2；是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等q：由“a1，b1”：“ab1”；反之不成立，例如取a=10，b=“ab1“是“a1，b1”的必要不充分条件，是假命题下列命题为真命题的是p（q），故选：D4已知函数f（x）=logax（0a1），则函数y=f（|x|+1）的图象大致为（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质【分析】利用特殊点代入计算，排除即可得出结论【解答】解：由题意，x=0，y=f（1）=0，排除C，Dx=1，y=f（2）0，排除B，故选A5如图正方形的曲线C是以1为直径
10、的半圆，从区间0，1上取1600个随机数x1，x2，x800，y1，y2，y800，已知800个点（x1，y1），（x2，y2），（x800，y800）落在阴影部分阴影部分的个数为m，则m的估计值为（）A157B314C486D628【考点】模拟方法估计概率【分析】以面积为测度，建立方程，即可得出结论【解答】解：由题意，m=314，故选B6运行如图的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n的值是（）A5B6C7D8【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得8n7，即可得解输入的正整数n的值【解答】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=1，k=3满足条件
11、kn，执行循环体，C=2，A=1B=2，k=4满足条件kn，执行循环体，C=3，A=2B=3，k=5满足条件kn，执行循环体，C=5，A=3B=5，k=6满足条件kn，执行循环体，C=8，A=5B=8，k=7满足条件kn，执行循环体，C=13，A=8B=13，k=8由题意，此时应该不满足条件8n，退出循环，输出C的值为13，可得：8n7，所以输入的正整数n的值是7故选：C7下列结论中错误的是（）A若0，则sintanB若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C若角的终边过点P（3k，4k）（k0），则sin=D若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度【考点】任意角的三角函数的定义【
12、分析】利用任意角的三角函数的定义，象限角的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：若0，则sintan=，故A正确；若是第二象限角，即（2k，2k+），kZ，则（k，k+），为第一象限或第三象限，故B正确；若角的终边过点P（3k，4k）（k0），则sin=，不一定等于，故C不正确；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长=622=2，其中心角的大小为=1弧度，故选：C8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16B8CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，利用圆锥的体积公式，求出几何体的体积【解答】解：由题意，几何体为圆锥的
13、一半，底面半径为2，高为4，几何体的体积为=，故选D9已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（xc）2+y2=4a2截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆（xc）2+y2=4a2截得弦长为2b，结合勾股定理，推出a，b，c关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，圆（xc）2+y2=4a2的圆心到双曲线的渐近线的距离为：，渐近线被圆（xc）2+y2=4a2截得的弦长为：2b，b2+b2=4a2，b2=2a
14、2，即c2=3a2，e=故选：B10已知函数y=f（x）满足f（2+x）+f（2x）=0，g（x）=，若曲线y=f（x）与y=g（x）交于A1（x1，y1），A2（x2，y2），An（xn，yn），则（xi+yi）等于（）A4nB2nCnD0【考点】分段函数的应用【分析】由题意可得f（x）的图象关于点（2，0）对称；画出y=g（x）的图象，可得g（x）的图象也关于点（2，0）对称，即有f（x）与g（x）的交点关于点（2，0）对称，相加计算即可得到所求和【解答】解：函数y=f（x）满足f（2+x）+f（2x）=0，可得f（x）的图象关于点（2，0）对称；由g（x）=，可得图象如右，g（x）的图象
15、也关于点（2，0）对称，即有f（x）与g（x）的交点关于点（2，0）对称，则（xi+yi）=xi+yi，即有yi=0，可设t=x1+x2+x3+xn，t=xn+xn1+xn2+x1，相加可得2t=（x1+xn）+（x2+xn1）+（xn+x1）=4+4+4=4n，解得t=2n故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11已知向量，其中|=2，|=1，且（+），则|2|=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据（+）得出（+）=0，求出的值，再计算从而求出|2|【解答】解：向量，中，|=2，|=1，且（+），（+）=+=0，=4，=4+4=44（4）+41=24，|2|=2故
16、答案为：212已知正数a，b满足4a+b=ab，则a+b的最小值为9【考点】基本不等式【分析】正数a，b满足4a+b=ab，即=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：正数a，b满足4a+b=ab，即=1则a+b=（a+b）=5+5+2=9，当且仅当b=2a=6时取等号a+b的最小值为9故答案为：913设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2xy的最小值为12【考点】简单线性规划【分析】先根据条件画出可行域，再利用z=2xy，几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=2xy，过可行域内的点A（6，0）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：设变量x、
17、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线2xy=0经过点A（6，0）时，2xy最小，最小值为：12，则目标函数z=2xy的最小值为12故答案为：1214已知抛物线C：y2=4x的焦点F，直线mn过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，D为线段MF上一点，且|MD|=2|NF|，若|DF|=1，则|MF|=【考点】抛物线的简单性质【分析】依题意F（1，0），设直线MN方程为x=my+1将直线MN的方程与抛物线的方程联立，得y24my4=0由此能够求出直线的斜率，可得|MF|【解答】解：依题意F（1，0），设直线MN方程为x=my+1 将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my
18、4=0 设M（x1，y1），N（x2，y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=4因为|MD|=2|NF|，|DF|=1，所以 x1=2x2+2联立和，消去y1，y2，得m=，m=，y1=，|MF|=x1+1=；m=，y1=，|MF|=x1+1=； 故答案为：15对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=具有性质P，则实数a的取值范围为【考点】函数的值【分析】由题意将条件转化为：方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex并求出g（x），由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在
19、定义域上的单调性，求出g（x）的最小值，结合g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a的取值范围【解答】解：由题意知：若f（x）具有性质P，则在定义域内xf（x）=1有两个不同的实数根，即方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex，则g（x）=ex+xex=（1+x）ex，由g（x）=0得，x=1，g（x）在（，1）上递减，在（1，+）上递增，当x=1时，g（x）取到最小值是g（1）=，x0，g（x）0、x0，g（x）0，当方程xex=a在R上有两个不同的实数根时，即函数g（x）与y=a的图象有两个交点，由图得，实数a的取值范围为，故答案为：三、解答题
20、：本大题共6小题，共75分解答写出文字说明、证明过程或演算过程16在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB=a（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=tanAsinxcosxcos2x（0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间，上值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA，由于sinA0，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，结合A的范围即可
21、得解A的值（2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x），由已知可求T，利用周期公式可求，利用三角函数平移变换可求g（x）=sin（2x+），由x的范围，利用正弦函数的性质可求g（x）的值域【解答】（本题满分为12分）解：（1）bsinAcosC+csinAcosB=a，由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA，A为锐角，sinA0，sinBcosC+sinCcosB=，可得：sin（B+C）=sinA=，A=（2）A=，可得：tanA=，f（x）=sinxcosxcos2x=sin2xcos2x=sin（2x），其图象上相邻两条
22、对称轴间的距离为，可得：T=2=，解得：=1，f（x）=sin（2x），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到图象对应的函数解析式为y=g（x）=sin2（x+）=sin（2x+），x，可得：2x+，g（x）=sin（2x+），117空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数空气质量分分级与AQI大小关系如表所示：AQI05051100101150151200201300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某环保人士从2016年11月甲地的AQI记录数据轴，随机抽取了7天的AQI数据，用茎叶图记录如下：（）若甲地每年同期的
23、空气质量状况变化不大，请根据统计数据估计2017年11月甲地空气质量为良的天数（结果精确到天）；（）从甲地的这7个数据中任意抽取2个，求AQI均超过100的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（）这7天中甲地空气质量为良的天数为2天，由此能估计2017年11月甲地空气质量为良的天数（）甲地的这7个数据中任意抽取2个，基本事件总数n=21，甲地的这7个数据中AQI超过100的数据有5个，抽取的2天的AQI均超过100，包含的基本事件个数m=，由此能求出AQI均超过100的概率【解答】解：（）由7天的AQI数据的茎叶图，知：这7天中甲地空气质量为良的天数为2天，由此估计
24、2017年11月甲地空气质量为良的天数为：=9（天）（）甲地的这7个数据中任意抽取2个，基本事件总数n=21，甲地的这7个数据中AQI超过100的数据有5个，抽取的2天的AQI均超过100，包含的基本事件个数m=，AQI均超过100的概率p=18在如图所示的空间几何体中，EC平面ABCD，四边形ABCD是菱形，CEBF，且CE=2BF，G，H，P分别为AF，DE，AE的中点求证：（）GH平面BCEF；（）FP平面ACE【考点】直线与平面平行的判定【分析】（）取EC中点M，FB中点N，连接HM，GN，证明HMNG是平行四边形，可得GHMN，即可证明GH平面BCEF；（）连接BD，与AC，交于O，
25、连接OP，则OP平行且等于FB，证明BO平面ACE，即可证明FP平面ACE【解答】证明：（）取EC中点M，FB中点N，连接HM，GN则HM平行且等于DC，GN平行且等于AB，ABCD，HM平行且等于GN，HMNG是平行四边形，GHMN，GH平面BCEF，MN平面BCEF，GH平面BCEF；（）连接BD，与AC，交于O，连接OP，则OP平行且等于FB，PFBO是平行四边形，PFBO，BOAC，BOPC，ACPC=C，BO平面ACE，FP平面ACE19已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，数列bn是公比大于0的等比数列，且b1=2a1=2，a3+b2=1，S3+2b3=7（）求数列an和bn的
26、通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（II）cn=，利用“错位相加法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比q大于0，又b1=2a1=2，a3+b2=1，S3+2b3=7a1=1，1+2d+2q=1，3（1）+3d+22q2=7，解得d=2，q=2an=1+2（n1）=2n3，bn=2n（II）cn=，数列cn的前n项和Tn=+，=+，Tn=+（1）n1+=+，Tn=+20设f（x）=ax2a+，g（x）=+lnx（）设h（x）=f（x）g（x）+
27、，讨论y=h（x）的单调性；（）证明：对任意a（，），x（1，+），使f（x）g（x）成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）问题转化为证明：x（1，+），ax2alnx，设k（x）=，设h（x）=a（x21）lnx，通过讨论a的范围求出函数的最值，从而证明结论即可【解答】解：（）h（x）=f（x）g（x）+=ax2lnxa，则h（x）=2ax=，a0时，h（x）在（0，+）递减，a0时，令h（x）0，解得：x，令h（x）0，解得：0x，故h（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（）由题
28、意得：ax2a+lnx，x（1，+），ax2alnx，设k（x）=，若记k1（x）=exex，则（x）=exe，当x1时，（x）0，k1（x）在（1，+）递增，k1（x）k1（1）=0，若a0，由于x1，故f（x）g（x）恒成立，若0a，设h（x）=a（x21）lnx，由（）x（1，）时，h（x）递减，x（，+）时，h（x）递增，故h（）h（1）=0，而k（）0，即存在x=1，使得f（x）g（x），故对任意a（，0），x（1，+），使得f（x）g（x）成立21已知椭圆C与双曲线y2x2=1有共同焦点，且离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）若A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆C上异于A的两点，直线
29、AM与AN的斜率之积为1（i）求证：直线MN恒过定点，并求出该定点坐标；（ii）若O为坐标原点，求的取值范围【考点】圆锥曲线的综合【分析】（）设椭圆C的标准方程为+=1（ab0），由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2），运用直线的斜率公式，设出设直线MN：y=kx+t，代入椭圆方程，可得（3+k2）x2+2ktx+t23=0，运用韦达定理，结合M，N在直线上，满足直线方程，化简整理，可得t的方程，解方程可得t，即可证得直线MN恒过定点；（ii）由（i）可得=x1x2+y1y2，运用（i）的结论，由判别式大于0，化简整理，并运
30、用换元法，由不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（）设椭圆C的标准方程为+=1（ab0），由题意可得a2b2=2，e=，c=，解得a=，b=1，即有椭圆的标准方程为+x2=1；（）（i）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由A（0，），直线AM与AN的斜率之积为1，可得=1，即有x1x2=y1y2+（y1+y2）+3，由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：y=kx+t，代入椭圆方程，可得（3+k2）x2+2ktx+t23=0，可得x1x2=，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2t=2t=，y1y2=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2=k2+kt（）+t2=，则=+（）+3，化为t2+3t+6=0，解得t=2（舍去），则直线MN的方程为y=kx2，即直线MN恒过定点，该定点坐标为（0，2）；（ii）由（i）可得=x1x2+y1y2=+=，由（3+k2）x2+2ktx+t23=0，可得=4k2t24（t23）（3+k2）=48k236（3+k2）0，解得k29令3+k2=m，则m12，且k2=m3，即有=3，由m12，可得33则的取值范围是（3，）2017年3月27日
