1、章末综合测评(四)圆与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在空间直角坐标系中，点A(3,4,0)与点B(2，1,6)的距离是()A2B2C9 D.【解析】由空间直角坐标系中两点间距离公式得：|AB|.【答案】D2当圆x2y22xkyk20的面积最大时，圆心坐标是()A(0，1)B(1,0)C(1，1)D(1,1)【解析】圆的标准方程得：(x1)221，当半径的平方1取最大值为1时，圆的面积最大k0，即圆心为(1,0)【答案】B3圆O1：x2y24x6y120与圆O2：x2y28x6y160的
2、位置关系是()A相交B相离C内含D内切【解析】把圆O1：x2y24x6y120与圆O2：x2y28x6y160分别化为标准式为(x2)2(y3)21和(x4)2(y3)29，两圆心间的距离d2|r1r2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】D4(2016葫芦岛高一检测)过点(2,1)的直线中，被圆x2y22x4y0截得的最长弦所在的直线方程为()A3xy50B3xy70Cx3y50Dx3y10【解析】依题意知所求直线通过圆心(1，2)，由直线的两点式方程，得，即3xy50，故选A.【答案】A5已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相
3、离D不确定【解析】由题意知点在圆外，则a2b21，圆心到直线的距离d1，故直线与圆相交【答案】B6若P(2，1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A2xy50B2xy30Cxy10Dxy30【解析】圆心C(1,0)，kPC1，则kAB1，AB的方程为y1x2，即xy30，故选D.【答案】D7圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是()A(x2)2y21B(x2)2y21C(x1)2(y3)21Dx2(y2)21【解析】设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a2)2(10)21，解得a2.故所求圆的方程是(x2)2y21.【答案】A8(2016泰安高一检
4、测)圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是() 【导学号：09960151】A36B18C6D5【解析】圆x2y24x4y100的圆心为(2,2)，半径为3，圆心到直线xy140的距离为53，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R6.【答案】C9过点P(2,4)作圆O：(x2)2(y1)225的切线l，直线m：ax3y0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A4B2C. D.【解析】P为圆上一点，则有kOPkl1，而kOP，kl.a4，m：4x3y0，l：4x3y200.l与m的距离为4.【答案】A10一个几何体的三视图如图1所示，正视图和侧视图都是等边
5、三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是()图1A(1,1,1)B(1,1，)C(1,1，)D(2,2，)【解析】由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为，则第五个顶点的坐标为(1,1，)故选C.【答案】C11已知圆C1：(x2)2(y2)22，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x3)2(y3)22B(x1)2(y1)22C(x2)2(y2)22D(x3)2(y3)22【解析】设点(2,2)关于直线xy10的对称点为
6、Q(m，n)，则解得m3，n3，所以圆C2的圆心坐标为(3，3)，所以圆C2的方程为(x3)2(y3)22，故选D.【答案】D12(2016台州高二检测)已知圆O：x2y240，圆C：x2y22x150，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则OAB面积的取值范围是()图2A2，2B2，8C2，2D2，8【解析】SOAB|AB|2|AB|，设C到AB的距离为d，则|AB|2，又d1,3，742d215，所以SOAB|AB|2，2【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知A(1,2,3)，B(5,6，7)，则线段AB中点D的坐标为_【解析】设D(x，
7、y，z)，由中点坐标公式可得x3，y4，z2，所以D(3,4，2)【答案】(3,4，2)14以原点O为圆心且截直线3x4y150所得弦长为8的圆的方程是_【解析】原点O到直线的距离d3，设圆的半径为r，r2324225，圆的方程是x2y225.【答案】x2y22515(2015重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_【解析】以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，圆的方程为x2y25.kOP2，切线的斜率k.由点斜式可得切线方程为y2(x1)，即x2y50.【答案】x2y5016若x，yR，且x，则的取值范围是_【解析】xx2y21(x0)，此方程表示半圆，
8、如图，设P(x，y)是半圆上的点，则表示过点P(x，y)，Q(1，2)两点直线的斜率设切线QA的斜率为k，则它的方程为y2k(x1)从而由1，解得k.又kBQ3，所求范围是.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求经过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程【解】法一：圆心在y轴上，设圆的标准方程是x2(yb)2r2.该圆经过A、B两点，所以圆的方程是x2(y1)210.法二：线段AB的中点为(1,3)，kAB，弦AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即y2x1.由得(0,1)为所求圆的圆心由两点间距离公式得圆
9、半径r为，所求圆的方程为x2(y1)210.18(本小题满分12分)如图3所示，BC4，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30，求AD的长度图3【解】由题意得B(0，2,0)，C(0,2,0)，设D(0，y，z)，在RtBDC中，DCB30，|BD|2，|CD|2，z，2y3，y1，D(0，1，)又A，|AD|.19(本小题满分12分)已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)证明：不论m为何值时，直线和圆恒相交于两点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程【解】(1)证明：由(2m1)x(m1)y7m4
10、0，得(2xy7)mxy40.解得直线l恒过定点A(3,1)又(31)2(12)2525，(3,1)在圆C的内部，故直线l与圆C恒有两个公共点(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，有lAC，由kAC，得l的方程为y12(x3)，即2xy50.20(本小题满分12分)点A(0,2)是圆x2y216内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BACA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线【解】设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OMBC.又BAC90，|MA|BC|MB|.|MB|2|OB|2|OM|2，|OB|2|MO|2|MA|2，即42(x2y2)(x0)2(y2)2，化简为x
11、2y22y60，即x2(y1)27.所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆21(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(2,3)，C(2,1)图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(2，2)，求直线BC截圆E所得的弦长【解】(1)AC的中点E(0,2)即为圆心，半径r|AC|，所以圆E的方程为x2(y2)25.(2)直线BC的斜率k，其方程为y1(x2)，即3x4y20.点E到直线BC的距离为d2，所以BC截圆E所得的弦长为22.22.(本小题满分12分)如图5，已知圆C：x2y210x10y0，点A(0
12、,6)(1)求圆心在直线yx上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程 【导学号：09960152】图5【解】(1)由x2y210x10y0，化为标准方程：(x5)2(y5)250.所以圆C的圆心坐标为C(5，5)，又圆N的圆心在直线yx上，所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，则有，解得a3，所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r3，故圆N的方程为(x3)2(y3)218.(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CPCQ.所以点C到直线m的距离为5.当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x0.当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为ykx6，即kxy60.所以5，解得k.所以此时直线m的方程为xy60，即48x55y3300，故所求直线m的方程为x0或48x55y3300.