1、2017年江西省九校联考高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=0，1，2，3，4，集合B=x|x=2n，nA，则AB=（）A0B0，2，4C2，4D0，22复数z=（a+i）（1i），aR，i是虚数单位若|z|=2，则a=（）A1B1C0D13如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（）A中位数为14B众数为13C平均数为15D方差为194在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱B1B、AD的中点，直线BF与平面A
2、D1E的位置关系是（）A平行B相交但不垂直C垂直D异面5等差数列an的前n项和为Sn，若2a6+a7a9=18，则S6S3=（）A18B27C36D456已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD7运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（）AB0C1D8平面直角坐标系中，在由x轴、x=、x=和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y1sin3x的概率是（）ABCD9以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）A1BCD210已知函数，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a（）A（0，2B（1，2C（1，2）D（0，11
3、1如图所示，DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置（x，0），记DEM的外接圆面积与DMF的外接圆面积的比值为f（x），那么函数y=f（x）的大致图象为（）ABCD12若对任意的 x，y（0，+），不等式ex+y4+exy4+64xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）ABCeD2e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知抛物线方程为，则其准线方程为14已知a1，实数x，y满足，若目标函数z=x+y的最大值为4，则实数a的值为15已知正项数列an满足an+122an2=anan+1，若a1=1，则数列an的前n项和
4、为Sn=16已知A，B，C是圆x2+y2=1上互不相同的三个点，且满足|=|，则的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知f（x）=cos2（x）（cosxsinx）2（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，且a=1，求ABC周长的最大值18某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所谓，调查结果统计如下：支持无所谓反对高一年级18x2高二年级106y（1
5、）（i）求出表中的x，y的值；（ii）从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好高一、高二各1人的概率；（2）根据表格统计的数据，完成下面的22的列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关（不支持包括无所谓和反对）高一年级高二年级总计支持 不支持总计附：，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.100.050.01k02.7063.8416.63519将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥MABCD（如图二），若在四棱锥MABCD中有MA=（1）求证：ACMD；（2）求四棱锥MABCD的体积20已知两定点E（2，0），f（2，0）动点P满足=0，由点P向x轴作垂线段
6、PQ垂足为Q，点M满足=，点M的轨迹为C（I）求曲线C的方程；（II）过点D（0，2）作直线l与C交于A，B两点，点N满足=+（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程21已知函数f（x）=e3ax（aR）的图象C在点（1，f（1）处切线的斜率为e，函数g（x）=kx+b（k，bR，k0）为奇函数，且其图象为l（1）求实数a，b的值；（2）当x（2，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1x2，求证：x1x21选修4-4：坐标系与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建
7、立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径（）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x1|+|x2|（1）求不等式f（x）x的解集；（2）当时，求证：|a+b|+|ab|a|f（x）（a0，a，bR）2017年江西省九校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=0，1，2，3，4，集合B=x|x=2n，nA
8、，则AB=（）A0B0，2，4C2，4D0，2【考点】交集及其运算【分析】根据题意求出集合B，再根据交集的定义写出AB【解答】解：集合A=0，1，2，3，4，集合B=x|x=2n，nA=0，2，4，6，8，则AB=0，2，4故选：B2复数z=（a+i）（1i），aR，i是虚数单位若|z|=2，则a=（）A1B1C0D1【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z=（a+i）（1i）=a+1+（1a）i，|z|=2=，化为a2=1解得a=1故选：D3如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（）A中位数为14B
9、众数为13C平均数为15D方差为19【考点】众数、中位数、平均数【分析】根据茎叶图中的数据，求出这组数据的中位数、众数、平均数和方差即可【解答】解：根据茎叶图中的数据知，该组数据的中位数是=14，A正确；众数是13，B正确；平均数是=（8+13+13+15+20+21）=15，C正确；平方差是s2=（815）2+（1315）22+（1515）2+（2015）2+（2115）219.7，D错误故选：D4在如图所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱B1B、AD的中点，直线BF与平面AD1E的位置关系是（）A平行B相交但不垂直C垂直D异面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析
10、】取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，BFOE是平行四边形，可得BFOE，即可得出结论【解答】解：取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，BFOE是平行四边形，BFOE，BF平面AD1E，OE平面AD1E，BF平面AD1E，故选：A5等差数列an的前n项和为Sn，若2a6+a7a9=18，则S6S3=（）A18B27C36D45【考点】等差数列的性质【分析】利用等差数列的通项公式，即可得出结论【解答】解：由题意，设公差为d，则2a1+10d+a1+6da18d=18，a1+4d=9，S6S3=a1+3d+a1+4d+a1+5d=27故选B6已知某几何体的三视
11、图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图得该几何体是四棱锥，结合图中数据求出它的体积【解答】解：由三视图知该几何体是四棱锥，且底面是边长为4的正方形，高为4sin60=2，该四棱锥的体积为V=422=故选：C7运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（）AB0C1D【考点】程序框图【分析】模拟程序运行数据，结合三角函数的周期为6，由于一个周期的和为0，2017=3716+1，即可得到输出值【解答】解：当n=1，S=0，即有S=cos=；n=2，即有S=+cos=0；n=3，即有S=0+cos=1；n=4，即有S=1+cos=1+（）=；n=5，即
12、有S=+cos=+=1；n=6，即有S=1+cos2=1+1=0n=7，即有S=0+cos=；由于2017=3716+1n=2017，即有S=0371+=，故选：A8平面直角坐标系中，在由x轴、x=、x=和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y1sin3x的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，即可求出概率【解答】解：由x轴、x=、x=和y=2所围成的矩形的面积为2=利用割补法，可得满足不等关系y1sin3x且在矩形内部的区域面积为=，所求概率为，故选D9以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）A1BCD2【
13、考点】双曲线的简单性质【分析】设正方形的边长为t，对角线的长为t，由椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式e=，计算即可得到所求离心率的乘积【解答】解：设正方形的边长为t，对角线的长为t，以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，故它们的积为1，故选A10已知函数，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a（）A（0，2B（1，2C（1，2）D（0，1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数零点的判定定理【分析】x=1时，f（1）=2a0，解得a2x1时，f（x）=x+a，此时函数f（x）一定有零点x1时，f（x）=2xa，由存在x，使
14、得2xa0，则a（2x）min，可得a0“函数f（x）有两个零点”成立的充要条件是a（0，2）进而得出结论【解答】解：x=1时，f（1）=2a0，解得a2x1时，f（x）=x+a，此时函数f（x）一定有零点x1时，f（x）=2xa，由存在x，使得2xa0，则a（2x）min，a0“函数f（x）有两个零点”成立的充要条件是a（0，2）“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a（1，2）故选：C11如图所示，DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置（x，0），记DEM的外接圆面积与DMF的外接圆面积的比值为f（x），那么函数y=f（x
15、）的大致图象为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】设DEM的外接圆半径为R1，DMF的外接圆半径为R2，根据正弦定理可得R1=R2，即可：f（x）=1，图象得以判断【解答】解：设DEM的外接圆半径为R1，DMF的外接圆半径为R2，则由题意， =f（x），点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置，由正弦定理可得：R1=，R2=，又DE=DF，sinDME=sinDMF，可得：R1=R2，可得：f（x）=1，故选：C12若对任意的 x，y（0，+），不等式ex+y4+exy4+64xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）ABCeD2e【考点】函数恒成立问题【分析】通
16、过参数分离，利用基本不等式放缩可知问题转化为2lna在x0时恒成立，记g（x）=，二次求导并结合单调性可知当x=4时g（x）取得最小值g（4）=1，进而计算即得结论【解答】解：设f（x）=ex+y4+exy4+6，则问题转化为不等式4xlnaf（x）恒成立又f（x）=ex4（ey+ey）+66+2ex4（当且仅当y=0时取等号），4xlna6+2ex4，即有2lna在x0时恒成立，记g（x）=，则g（x）=，令g（x）=0，即（x1）ex4=3，记h（x）=（x1）ex4，则h（x）=xex4，x0，ex40，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增，又h（4）=3，即有（x1）ex4=3的
17、根为4，当x4时g（x）递增，当0x4时g（x）递减，当x=4时，g（x）取得最小值g（4）=1，2lna1，lna，0a，（当x=2，y=0时，a取得最大值），故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知抛物线方程为，则其准线方程为y=1【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的性质，求解即可【解答】解：抛物线方程为，则标准方程为：x2=4y则其准线方程为：y=1故答案为：y=114已知a1，实数x，y满足，若目标函数z=x+y的最大值为4，则实数a的值为2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组表示的可行域，将目标函数变形y=x+z，判断出z表示直线的纵截距，结
18、合图象，求出k的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示y=x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大此时z=2a=4a=2故答案为：215已知正项数列an满足an+122an2=anan+1，若a1=1，则数列an的前n项和为Sn=2n1【考点】数列递推式【分析】把已知的数列递推式变形，因式分解后得到数列an是公比为2的等比数列，然后由等比数列的前n项和公式得答案【解答】解：an+122an2=anan+1，an+12anan+12an2=0，即（an+1+an）（2anan+1）=0，又an0，2ana
19、n+1=0，即，数列an是公比为2的等比数列，又a1=2，数列an的前n项和为Sn=故答案为：2n116已知A，B，C是圆x2+y2=1上互不相同的三个点，且满足|=|，则的取值范围是，）【考点】平面向量数量积的运算【分析】画出图形，设出、以及的坐标，求出的坐标表示，求取值范围即可【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cos，sin），（0，）|=|，C（cos，sin）；=（cos1，sin）（cos1，sin）=（cos1）2sin2=cos22cos+1（1cos2）=2；1cos1，当cos=，即=时，上式取得最小值；当cos=1时，21=；的取值范围是，）故答案为：，）三、
20、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知f（x）=cos2（x）（cosxsinx）2（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，且a=1，求ABC周长的最大值【考点】正弦定理【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x，利用正弦函数的单调性即可得解（2）由题意知，可求，利用正弦定理可求，从而利用三角函数恒等变换的应用化简可求a+b+c=2sin（B+）+1，由范围，可求，利用正弦函数的性质可求其最大值【解答】解：（1）=，由，得其增区间为：；由，得其减区间为：
21、（2）由题意知，又由正弦定理，知：，则ABC的周长为=由，知：，则有，ABC的周长的最大值为318某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所谓，调查结果统计如下：支持无所谓反对高一年级18x2高二年级106y（1）（i）求出表中的x，y的值；（ii）从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好高一、高二各1人的概率；（2）根据表格统计的数据，完成下面的22的列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关（不支持包括无所谓和反对）高一年级高二年级总计支持 不
22、支持总计附：，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.100.050.01k02.7063.8416.635【考点】独立性检验【分析】（1）（i）由题可得x=5，y=4；（ii）利用列举法确定基本事件，即可求恰好高一、高二各1人的概率；（2）根据表格统计的数据，完成下面的22的列联表，求出K2，与临界值比较，即可判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关【解答】解：（1）（ i）由题可得x=5，y=4（ ii）假设高一反对的编号为A1，A2，高二反对的编号为B1，B2，B3，B4，则选取两人的所有结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2
23、，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）恰好高一、高二各一人包含8个事件，所求概率（2）如图列联表：高一年级高二年级总计支持181028不支持71017总计252045没有90%的把握认为持支持与就读年级有关19将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥MABCD（如图二），若在四棱锥MABCD中有MA=（1）求证：ACMD；（2）求四棱锥MABCD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质【分析】（1）推导出MDMA，MDMC，从而MD平面MAC，由此能证明AC
24、MD（2）取CD的中点F，连接MF，推导出ACCD，从而ACMD，进而AC平面MCD，MF平面ABCD，由此能求出四棱锥MABCD的体积【解答】证明：（1）在MAD中，MD=1，AD=2，MA2+MD2=AD2，MDMA，又MDMC，MD平面MAC，ACMD解：（2）取CD的中点F，连接MF，如图二，在ACD中，AD=2，AC2+CD2=AD2，ACCD，由（1）可知MD平面MAC，ACMD，AC平面MCD，ACMF，在MCD中，MC=MD=1，MFCD，MF平面ABCD，20已知两定点E（2，0），f（2，0）动点P满足=0，由点P向x轴作垂线段PQ垂足为Q，点M满足=，点M的轨迹为C（I）
25、求曲线C的方程；（II）过点D（0，2）作直线l与C交于A，B两点，点N满足=+（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程【考点】圆锥曲线的综合【分析】（）先求出点P的轨迹方程，再利用PMx轴，点M满足，确定P，M坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；（）求得四边形OANB为平行四边形，则SOANB=2SOAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程【解答】解：（）动点P满足，点P的轨迹是以EF为直径的圆E（2，0），F（2，0），点P的轨迹方程x2+y2=4设M（x，y）是曲线C上任一点，PMx轴，点M满足，P（x，2y）点P的轨迹方程x2+y
26、2=4x2+4y2=4求曲线C的方程是；（），四边形OANB为平行四边形当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，可得（1+4k2）x216kx+12=0x1+x2=，由=256k248（1+4k2）0，可得或|x1x2|=|x1x2|SOANB=2SOAB=2|x1x2|=8令k2=t，则，当t，即4t30时，由基本不等式，可得16，当且仅当，即t=时，取等号，此时满足0t=时，取得最小值k=时，四边形OANB面积的最大值为2，所求直线l的方程为和21已知函数f（x）=e3ax（aR）的图象
27、C在点（1，f（1）处切线的斜率为e，函数g（x）=kx+b（k，bR，k0）为奇函数，且其图象为l（1）求实数a，b的值；（2）当x（2，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1x2，求证：x1x21【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；（2）根据x（2，2），exkx恒成立，得到关于k的不等式，记，x（2，0）（0，2），根据函数的单调性求出k的范围即可；（3）要证x1x21，即证，令，即证2ln212ln2+10，令（）=2ln2+1（1），根据
28、函数的单调性证明即可【解答】解：（1）f（x）=3ae3ax，g（x）=kx+b（k，bR，k0）为奇函数，b=0（2）由（1）知f（x）=ex，g（x）=kx当x（2，2）时，图象C恒在l的上方，x（2，2），exkx恒成立，当x=0时，e0=10k显然可以，记，x（2，0）（0，2），则，由h（x）0x（1，2），h（x）在（2，0）上单调减，在（0，1上单调减，在1，2）上单调增，k0，所求实数k的取值范围是（3）证明：由（2）知0x11x2，设x2=tx1（t1），要证x1x21，即证，令，即证2ln212ln2+10，令（）=2ln2+1（1），即证（）0，1，（）0，（）在（1，+
29、）上单调减，（）（1）=0，（）在（1，+）上单调减，（）（1）=0，x1x21选修4-4：坐标系与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径（）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程（II）把代入x2+（y3）2=9，利用参数的几何意义，即可得出结论【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数），（答案
30、不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为=6sin（）把代入x2+（y3）2=9，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，t1t2=7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，|PA|PB|=7选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x1|+|x2|（1）求不等式f（x）x的解集；（2）当时，求证：|a+b|+|ab|a|f（x）（a0，a，bR）【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明【分析】（1）写出分段函数，即可求不等式f（x）x的解集；（2）由（1）知，当时，1f（x）2，可得|a|f（x）2|a|利用绝对值不等式即可证明【解答】（1）解：由题，f（x）x的解集为（，13，+）（2）证明：由（1）知，当时，1f（x）2|a|f（x）2|a|又|a+b|+|ab|（a+b）+（ab）|2|a|，|a+b|+|ab|2|a|a|f（x），即|a+b|+|ab|a|f（x）（a0，a，bR）2017年4月14日