1、天津市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11：概率一、解答题 （天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）有甲,乙两个盒子,甲盒中装有2个小球,乙盒中装有3个小球,每次随机选取一个盒子并从中取出一个小球(1)当甲盒中的球被取完时,求乙盒中恰剩下1个球的概率;(2)当第一次取完一个盒子中的球时,另一个盒子恰剩下个球,求的分布列及期望. 【答案】解:(1) (2) （2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍
2、按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.(）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望.【答案】解：（）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则. 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.3分(）随机变量的可能取值为. ，. .11分随机变量的分布列为：因为 ，所以 随机变量的数学期望为.13分 （天津市宝坻区2013届高三综合模拟数学（理）试题）四名教师被分到甲、乙、丙三所学校参加工作,每所学校至少一名教师.()求、两名教师被同时分配到甲学校的概率;()求、两名教师不在同一学校的概率;()设
3、随机变量为这四名教师中分配到甲学校的人数,求的分布列和数学期望.【答案】解:()四名教师被分到甲、乙、丙三所学校的所有可能情况为种 、两名教师被同时分配到甲学校的情况为 所以、两名教师被同时分配到甲学校的概率为 ()、两名教师被分在同一学校的概率为 所以、两名教师不在同一学校的概率 ()随机变量的可取值为1,2 12 所以随机变量的分布列为 (不列表不扣分) （天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本小题满分l ) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料
4、,(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率;(2)求中奖人数的分布列及数学期望E.【答案】解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么 P(A)=P(B)=P(C)= P()=P(A)P()P()= 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 (2)的可能值为0,1,2,3 P(=k)=(k=0,1,2,3) 所以中奖人数的分布列为0123PE=0+1+2+3= （天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）某学校高三(1)班学生举行新年联欢活动;准备了10张奖券,其中一等奖的奖券有2张,二等奖的奖券有3张,其余奖券均为3等奖.(I)求从中任意抽取2张,均得到一等奖奖券
5、的概率;(II)从中任意抽取3张,至多有1张一等奖奖券的概率;()从中任意抽取3张,得到二等奖奖券数记为,求的数学期望.【答案】 （天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.()求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;()求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【答案】解:()设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件
6、A的概率为. ()由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min). 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4), , 即的分布列是02468的期望是. （天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）(本小题满分13分)口袋中有大小、质地均相同的9个球，4个红球，5个黑球，现在从中任取4个球。(1)求取出的球颜色相同的概率；(2)若取出的红球数设为，求随机变量的分布列和数学期望。【答案】 （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否
7、则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是.()记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;()求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【答案】解:()X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知XB(6,). () X的分布列为:X0123456P(注:每个概率1分,列表1分,共8分,没有过程只列表扣3分) =. 或因为XB(6,),所以. 即X的数学期望为4 ()设教师甲在一场比赛中获奖为事件A, 则 (每个概率计算正确一分,共三分;列一个大式子,若计算错误则无分) 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为 （天津市十二校2013届高三第二次模拟联考数学（理）试题）
8、某企业招聘工作人员,设置A、B、C三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加A组测试,丙、丁两人各自独立参加B组测试.已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为,丙、丁两人各自通过测试的概率均为,参加C组测试,C组共有6道试题,戊会其中4题,戊只能且必须选择4道作答,答对3题则竞聘成功.(1)求戊竞聘成功的概率;(2)求参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数的概率;(3)记A、B组测试通过的总人数为,求的分布列和期望.【答案】 （天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）一盒中装有9个大小质地相同的小球,其中红球4个,标号分别为0,
9、1,2,3;白球3个,标号分别为0,1,2;黑球2个,标号分别为0,l;现从盒中不放回地摸出2个小球.(I)求两球颜色不同且标号之和为3的概率;()记所摸出的两球标号之积为,求的分布列与数学期望.【答案】解:()从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有种 颜色不同且标号之和为3的情况有6种 () 依题意的可取值为0,1,2,3,4,6 012346(不列表不扣分) （天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）某次月考数学()得40分的概率;()得多少分的可能性最大?()所得分数的数学期望.【答案】 （2010年高考（天津理）某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不
10、影响()假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率()假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标另外2次未击中目标的概率;()假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记为射手射击3次后的总的分数,求的分布列【答案】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力 (1)解:设为射手在5次射击中击中目标的次数,则.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率 ()解:设“第次射击击中目标”为事件;“射
11、手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件,则 = = ()解:由题意可知,的所有可能取值为 = 所以的分布列是01236P（2011年高考（天津理）学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)()求在1次游戏中,(i)摸出3个白球的概率;(ii)获奖的概率;()求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).【答案】【命题立意】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互
12、斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力. 【解析】()(i)设“在1次游戏中摸出个白球”为事件(),则 (ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B,则,又, 且、互斥,所以. (II)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2. , 所以X的分布列是X012PX的数学期望 （天津市河北区2013届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题）(本小题满分13分)某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者,20名学生的名额分配为高一12人,高二6人,高三2人.(I)若从20名学生中选出3人做为组长,求他们中恰好有.1人是高一年级学生的概率;()若将4名
13、教师随机安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】 （2012年天津理）现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.()求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率: ()求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: ()用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.【答案】(1)每个
14、人参加甲游戏的概率为,参加乙游戏的概率为这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为(2),这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为(3)可取 随机变量的分布列为（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）张师傅驾车从公司开往火车站,途径4个公交站,这四个公交站将公司到火车站分成5个路段,每个路段的驾车时间都是3分钟,如果遇到红灯要停留1分钟,假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的,并且概率都是(1)求张师傅此行时间不少于16分钟的概率(2)记张师傅此行所需时间为Y分钟,求Y的分布列和均值【答案】解:(1) (2)记张师傅此行遇到红灯的次数为X,则,依题意,则Y的分布列为Y
15、1516171819PY的均值为 （天津市2013届高三第三次六校联考数学（理）试题）(本题满分13分)现有长分别为的钢管各根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号),从中随机抽取根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的, ),再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根.()当时,记事件抽取的根钢管中恰有根长度相等,求;()当时,若用表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),求的分布列即数学期望.【答案】解:()事件为随机事件, ()可能的取值为 23456 的分布列为: （2013届天津市高考压轴卷理科数学）袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球,求
16、恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为,求的分布列及数学期望E.【答案】解: ()摸出的2个小球为异色球的种数为 从8个球中摸出2个小球的种数为 故所求概率为 5 分 ()符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球, 共有种 一种是有2个红球,1个其它颜色球, 共有种, 一种是所摸得的3小球均为红球,共有种不同摸法, 故符合条件的不同摸法共有种 由题意知,随机变量的取值为,.其分布列为:123 （天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获
17、得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求的分布列及数学期望.【答案】解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288.所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.648.(2)设进行的局数为,则的可取值为2,3, p(= 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52, p(= 3)
18、= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48.E=2*0.52+3*0.48=2.48（2013天津高考数学（理）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). () 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. () 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】本题主要考查古典概型及其概率2公式,互斥事件、离散型 的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力
19、. ()解:设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则 ,所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为. ()解:随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. ; 所以随机变量X的分布列是 随机变量X的数学期望. （天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以确定其工资级别,公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料,若4杯都选对,则月工资定为3500元,若4杯中选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100
20、元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.()求X的分布列;()求此员工月工资的期望.【答案】解:(I)X的所有可能取值为:0,1,2,3,4 即X01234 P (II)令Y表示新录用员工的月工资,则Y的所有可能取值为2100,2800,3500 所以新录用员工月工资的期望为2280元. （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；（2
21、）设在该次比赛中，甲得分为，求的分布列和数学期望.【答案】解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，所以甲获第一的概率为丙获第二，则丙胜乙，其概率为，所以甲获第一名且丙获第二名的概率为（2）可能取的值为0,3,6.所以的分布列为036PE=（2009高考(天津理)）在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品从这10件产品中任取3件,求:(I) 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望; (II) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率【答案】本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分
22、()解:由于从10件产品中任取3件的结果为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX= ()解:设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2,”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1A2A3而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= , 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A
23、)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= += （2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的道题中随机抽出道题进行测试,在备选的道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙只能答对其中的道题.答对一题加分,答错一题(不答视为答错)得0分.()求乙得分的分布列和数学期望;()规定:每个人至少得分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.【答案】【解】设乙的得分为,的可能值有 乙得分的分布列为: 所以乙得分的数学期望为 (2) 乙通过测试的概率为 甲通过测试的概率为 甲、乙都没通过测试的概率为 因此甲、乙两人中至少有一人通过测
24、试的概率为 （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）某机构向民间招募防爆犬,首先进行入围测试,计划考察三个项目:体能,嗅觉和反应.这三个项目中只要有两个通过测试,就可以入围.某训犬基地有4只优质犬参加测试,已知它们通过体能测试的概率都是1/3,通过嗅觉测试的概率都是1/3,通过反应测试的概率都是1/2.求(1)每只优质犬能够入围的概率;(2)若每入围1只犬给基地记10分,设基地的得分为随机变量,求的数学期望.【答案】解:(1)每只优质犬入围概率相等: p= (2)的取值为0,1,2,3,4 服从B(4,)E=E= （天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版）甲
25、乙等5名志愿者被随机分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位的概率;(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(3)设随机变量为这5名志愿者咱家A岗位的服务的人数,求的分布列及期望.【答案】解:(1)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么, 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.-4 (2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么, 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.-9 (3)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务, 则 所以,-11 的分布列是12-13 （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率;(2)设在该次比赛中,甲得分为,求的分布列和数学期望.【答案】解:(1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,所以甲获第一的概率为 丙获第二,则丙胜乙,其概率为, 所以甲获第一名且丙获第二名的概率为 (2)可能取的值为0,3,6. 所以的分布列为036PE=
