1、海淀区高二年级第二学期期中练习 数学（理科） 2013.4学校_ 班级姓名成绩 _本试卷共100分,考试时间90分钟.一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，且，则的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 22.曲线在点处的切线的倾斜角为（）A. B. C. D.3.函数在其定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数的图象可能为（）4.观察下列各等式：，则的末四位数字是（）A. 3125 B. 5625 C. 8125 D. 06255.已知下列命题：；三角形的三个内角满足；存在等比数列满足成立.其中所有正确命题的序号是
2、（）A. B. C. D. 6.若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入右图的容器，则容器中水的高度与时间的函数关系图象是（）7.若函数有三个零点，分别为，且满足，则实数的取值范围是（）A B C D8.已知正方体的棱长为1，是截面内（包括边界）的动点，则的值不可能是( )A BC D二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.已知三个点在同一条直线上，则.10.若函数是R上的单调增函数，则实数的取值范围_.11.由曲线和直线围成的封闭区域的面积为_.12.如图所示，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且.若点为中点，则与底面所成角的余弦值为_.13.若函数，给出下
3、面四个结论：是的极大值，是的极小值；的解集为；没有最小值，也没有最大值；有最小值，没有最大值，其中正确结论的序号有_.14.已知函数,构造如下函数序列:（，且）,其中，则_，函数的值域为_.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题共10分）已知函数其中，且曲线在点处的切线斜率为3.（I）求的值；（II）若函数在处取得极大值，求的值.16.（本小题共10分）已知点列An(xn,0)，nN*，其中x10，x2a (a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，.（I）写出xn与xn1、xn2之间的关系式
4、(n3)；（II）设anxn1xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明17.(本小题共12分)已知平面平面，其中为矩形，/，且，如图所示. （）求证：；（）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由. 18.（本小题共12分）已知函数.（I）当时，判断函数零点的个数；（II）求函数的单调区间.海淀区高二年级第二学期期中练习 数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1D 2D 3C 4A 5D 6C 7D 8A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9，
5、10 11 1213 14； （每空2分）三、解答题：本大题共4小题，共44分.15.（本小题满分10分）解：（） 2分由题意 4分 （）由函数在处取得极大值解得或 6分当时，13+00+极大值极小值由上表知，函数在处取得极大值，符合题意8分当时，1+00+极大值极小值由上表知，函数在处取得极小值，不符合题意.综上所述，若函数在处取得极大值，的值为1. 10分16.（本小题满分10分）解：（）由题意，当时， 2分 （）， 4分推测 6分方法一证明：对于任意， .9分又是以为首项，以为公比的等比数列.故10分方法二下面用数学归纳法证明： 当， 成立 .7分 假设当时，成立，即，则，所以成立. .
6、9分 由可知，数列的通项公式为 10分17.（本小题满分12分）解：（）证明：平面平面，交线为由已知可得且平面平面 2分又如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，所以，有， 4分 （）由已知可得，所以平面的一个法向量为 5分设平面的法向量为，则有，不妨令，所以平面的一个法向量为. 7分. 由已知可得所求二面角的余弦值为9分 （）设，设平面的法向量为，则有，不妨令，则平面的一个法向量为, 11分由，解得，不符合题意,即线段上不存在点，使得平面 12分18.（本小题满分12分）解：（）的定义域为 , 1分当时， 3分+0极大值因为，所以，此时，在定义域上，所以函数的零点个数为0. .6分 （） , 8分当时,+0极大值 9分当时,+00+极大值极小值.10分当时，对恒成立,且仅当时所以，函数的单调递增区间是. 11分当时+00+极大值极小值12分综上，当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.说明：本题第二问不列表也可以。