1、练典型习题提数学素养 一、选择题1已知直线l1过点(2，0)且倾斜角为30，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A(3，)B(2，)C(1，) D解析：选C直线l1的斜率k1tan 30，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)2圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|2，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24解析：选A由题意得，圆C的
2、半径为，圆心坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x1)2(y)22，故选A3已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离解析：选B圆M：x2y22ay0(a0)可化为x2(ya)2a2，由题意，M(0，a)到直线xy0的距离d，所以a22，解得a2.所以圆M：x2(y2)24，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交4(2019皖南八校联考)圆C与直线2xy110相切，且圆心C的坐标为(2，2)，设点P的坐标为(1，y0)若在圆C上存在一点Q，使得CPQ30，则y0的取值范围是
3、()A， B1，5C2，2 D22，22解析：选C由点C(2，2)到直线2xy110的距离为，可得圆C的方程为(x2)2(y2)25.若存在这样的点Q，当PQ与圆C相切时，CPQ30，可得sinCPQsin 30，即CP2，则2，解得2y02.故选C5在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2()A BC5 D10解析：选D由题意知P(0，1)，Q(3，0)，因为过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，所以MPMQ，所以|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故选D6(一题多解)(2019河南郑州模拟)在平面
4、直角坐标系中，O为坐标原点，直线xky10与圆C：x2y24相交于A，B两点，若点M在圆C上，则实数k的值为()A2 B1C0 D1解析：选C法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，则4k212(k21)0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因为，故M，又点M在圆C上，故4，解得k0.法二：由直线与圆相交于A，B两点，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线xky10的距离为半径的一半，为1，即d1，解得k0.二、填空题7过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_解析：令P(，0)，如图，易知|O
5、A|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时，AOB的面积取得最大值，此时过点O作OHAB于点H，则|OH|，于是sinOPH，易知OPH为锐角，所以OPH30，则直线AB的倾斜角为150，故直线AB的斜率为tan 150.答案：8已知圆O：x2y24到直线l：xya的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为_解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离dr121，即d3，解得a(3，3)答案：(3，3)9(2019高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy
6、30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_解析：法一：设过点A(2，1)且与直线2xy30垂直的直线方程为l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，则r.法二：因为直线2xy30与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(2，1)，所以21，所以m2，r.答案：2三、解答题10已知点M(1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍(1)求曲线E的方程；(2)已知m0，设直线l1：xmy10交曲线E于A，C两点，直线l2：mxym0交曲线E于B，D两点当CD的斜率为1时，求直线CD的方程解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)
7、，由题意得，整理得x2y24x10，即(x2)2y23为所求(2)由题意知l1l2，且两条直线均恒过点N(1，0)设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：yx2.设直线CD：yxt，由解得点P，由圆的几何性质，知|NP|CD|，而|NP|2，|ED|23，|EP|2，所以3，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直线CD的方程为yx或yx3.11在平面直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦
8、长为定值解：(1)不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为yx2(x)由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(，)，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值12在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上(1)若圆心C也在
9、直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围解：(1)因为圆心在直线l：y2x4上，也在直线yx1上，所以解方程组得圆心C(3，2)，又因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为(x3)2(y2)21，又因为点A(0，3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切线方程为y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因为圆C的圆心在直线l：y2x4上，所以设圆心C为(a，2a4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为(xa)2(y2a4)21.设M(x，y)，又因为|MA|2|MO|，则有2，整理得x2(y1)24，其表示圆心为(0，1)，半径为2的圆，设为圆D，所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以2121，解得0a，所以圆心C的横坐标a的取值范围为.