1、章末综合测评(一)数列(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知数列1，3，则是这个数列的()A第10项B第11项C第12项D第21项B观察可知该数列的通项公式为an(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令212n1，解得n11，故选B.2已知等差数列an满足3a34a4，则该数列中一定为零的项为()Aa6Ba7Ca8Da9B3a34a4，3a34(a3d)4a34d，a34d，ana3(n3)d4d(n3)d(n7)d.a70，故选B.3等比数列an中，a2，a6是方程x234
2、x640的两根，则a4等于()A8B8C8D以上选项都不对Aa2a634，a2a664，a64，且a20，a60，a4a2q20(q为公比)，a48.4已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11，那么a10()A1B9C10D55Aa10S10S9.由条件知S1S9S10.a10(S1S9)S9S1a11，故选A.5设an是公差不为0的等差数列，a12，且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn()A BCDn2nA设公差为d，则a1(a15d)(a12d)2，把a12代入可解得d.an2(n1)n.Snn2.故选A.6大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，
3、主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则该数列第18项为()A200B162C144D128B偶数项分别为2，8，18，32，50，即21，24，29，216，225，即偶数项对应的通项公式为a2n2n2， 则数列的第18项为第9个偶数， 即a18a29292281162，故选B.7已知数列an，若a12，an1an2n1，则a2 020()A2 017B2 018C2 019D2 020Can1an2n
4、1，an1(n1)(ann)，即数列ann是以1为首项，1为公比的等比数列，ann(1)n1，ann(1)n1，a2 0202 02012 019.8已知等差数列的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则()A3B6C9D12C由题意，知S3，S9，S27成等比数列，所以S S3 S27 ，即，整理得81a 3a2 27a14 ，所以(a14d)2(a1d)(a113d)，解得d2a1，所以9，故选C.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知等比数列的前n项和为S
5、n，下列数列中一定是等比数列的有()A BCDSn，S2nSn，S3nS2nAB由数列an为等比数列可知，q，(q0)，对于A， q2，故A正确；对于B，q20，故B正确；对于C，lg anlg an1lglg q，为等差数列，但是不一定为常数，即不一定为等比数列，故C错误；对于D，若an(1)n为等比数列，公比为1，则Sn有可能为0，不一定成等比数列，故D错误故选AB.10设是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是()AdS5DS6与S7均为Sn的最大值ABD由是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则a6S6S50，a7S7S60，a8S8S70，a7a8S8S6
6、0，则数列为递减数列，即选项A，B正确；由S9S5a9a8a7a62(a8a7)0，即S9a2a6a70a8a9，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选ABD.11已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且，则使得为整数的正整数n的值为()A2B3C4D14ACD由题意可得，则3，由于为整数，则n1为15的正约数，则n1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n的可能取值有2，4，14.故选ACD.12在公比q为整数的等比数列中，Sn是数列的前n项和，若a1a432，a2a312，则下列说法正确的是()Aq2B数列是等比数列CS8510D数列是公差为2的等差数列ABC因为数列为
7、等比数列，又a1a432，所以a2a332，又a2a312，所以 或又公比q为整数，则即an2n，Sn2n12， 对于选项A，由上可得q2，即选项A正确；对于选项B，Sn22n1，2，则数列是等比数列，即选项B正确；对于选项C，S8292510，即选项C正确；对于选项D，lg an1lg an(n1)lg2nlg2lg2，即数列是公差为lg2的等差数列，即选项D错误故选ABC.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知各项均不为0的等差数列，满足2a3a2a110，数列为等比数列，且b7a7，则b1b13_.16各项均不为0的等差数列，2a3a2a110，4
8、a7a0，a74，b1 b13 b a 16.14数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6_.768由an13Sn，得Sn1Sn3Sn，即Sn14Sn，所以数列Sn是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn4n1，所以a6S6S54544344768.15张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_设第n天织布的尺数为an，可知数列为等差数列，设等差数列的公差为d，前n项和为Sn，则a15，an1
9、，Sn90，则Sn3n90，解得n30，a30a129d529d1，解得d，因此，每天比前一天少织布的尺数为.16已知数列满足a121，an1an2n，则a4_，数列的最小值为_(本题第一空2分，第二空3分)33因为an1an2n，所以an1an2n，从而anan12(n1)(n2)所以a4a3236，a3a2224，a2a1212，a121，a46422133.ana1(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)2(n1)2(n2)2221212(n1)2n2n.而a121，所以ann2n21，则n1，因为f (n)n1在(0，4递减，在5，)递增，当n4时，8.25，当n5时，8
10、.2，所以n5时取得最小值，最小值为.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知数列an为等差数列，且a35，a713.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足anlog4bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设ana1(n1)d，则解得a11，d2.所以an的通项公式为an1(n1)22n1.(2)依题意得bn4an42n1，因为16，所以bn是首项为b1414，公比为16的等比数列，所以bn的前n项和Tn(16n1)18(本小题满分12分)已知正项数列的前n项和为Sn，且Sn2.(1)求a1，a2；(2)求证：数列是等差
11、数列解(1)由已知条件得：a12，a11.又有a1a22，即a2a230.解得a21(舍)或a23.(2)由Sn2得n2时，Sn12，SnSn1，即4anaa2an2an1，aa2an2an10，0，anan120，即anan12，经过验证n1也成立，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列19(本小题满分12分)已知数列an，bn满足an1anbn，为等比数列，且a12，a24，a310.(1)试判断列bn是否为等比数列，并说明理由；(2)求an.解(1)数列bn不是等比数列理由如下：由an1anbn，且a12，a24，a310得：b1a2a12，b2a3a26，又因为数列bn2为等比数列，所
12、以可知其首项为4，公比为2. 所以b3242216，b314，显然b36b1b328，故数列bn不是等比数列(2)结合(1)知，等比数列bn2的首项为4，公比为2，故bn242n12n1，所以bn2n12，因为an1anbn，anan12n2(n2)令n2，(n1)，累加得an22(n1)，an2n22n22n12n，又a12满足上式，an2n12n.20(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2knk.(1)求an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n2时，anSnSn12n2knk22kk4nk2，当n1时，a1S12k2，又数列为等差数列
13、，故当n1时，a12k22k，解得k0.故an4n2.(2)由(1)可知，bn，故Tn .故数列bn的前n项和Tn.21(本小题满分12分)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和解(1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意知q0.由已知，得消去d，整理得q42q280.因为q0，解得q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn
14、120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.22(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)解(1)由题意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d，an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1ddan2dd a1d.整理得an (3 000d)2d(3 0003d)2d.由题意知am4 000，所以 (3 0003d)2d4 000，解得d.故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元