1、星期六(解答题综合练)2016年_月_日1设向量a(2，sin )，b(1，cos )，为锐角(1)若ab，求sin cos 的值；(2)若ab，求sin的值解(1)因为ab2sin cos ，所以sin cos .所以(sin cos )212sin cos .又因为为锐角，所以sin cos .(2)法一因为ab，所以tan 2.所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.所以sinsin 2cos 2.法二因为ab，所以tan 2.所以sin ，cos .因此sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.所以sinsin 2cos 2.2如图，在四棱锥P A
2、BCD中，PA底面ABCD，PCAD，底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，PAABBC，点E在棱PB上，且PE2EB.(1)求证：平面PAB平面PCB；(2)求证：PD平面EAC.证明(1)PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又ABBC，PAABA，BC平面PAB.又BC平面PCB，平面PAB平面PCB.(2)PA底面ABCD，又AD平面ABCD，PAAD.又PCAD，又PCPAP，AD平面PAC，又AC平面PAC，ACAD.在梯形ABCD中，由ABBC，ABBC，得BAC，DCABAC.又ACAD，故DAC为等腰直角三角形DCAC(AB)2AB.连接BD，交AC于点M，连接EM
3、，则2.在BPD中，2，PDEM又PD平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC.3某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2015年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)x(x1)(412x)(x12且xN*)(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x月的销售量g(x)(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6403)解(1)当x1时，f(1)P(1)39.当x2时，f(x)P(x)P(x1) x(x1)(412x)(x1)x(43
4、2x) 3x(14x)f(x)3x242x(x12，xN*)(2)设月利润为h(x)，h(x)q(x)g(x) h(x)当1x6时，h(x)0，当6x7时，h(x)0，当1x7且xN*时，h(x)max30e612 090，当7x8时，h(x)0，当8x12时，h(x)0，当7x12且xN*时，h(x)maxh(8)2 987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元4如图，椭圆1(ab0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的
5、直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0，1)(1)求k1k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由解(1)因为e，b1，解得a2，所以椭圆C的标准方程为y21.设椭圆上点P(x0，y0)，有y1，所以k1k2.(2)因为M，N在直线l：y2上，设M(x1，2)，N(x2，2)，由方程知y21知，A(0，1)，B(0，1)，所以kBMkAN，又由(1)知kANkBMk1k2，所以x1x212，不妨设x10，则x20，则MN|x1x2|x2x1x224，所以当且仅当x2x12时，MN取得最小值4.(3)
6、设M(x1，2)，N(x2，2)，则以MN为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(y2)20，即x2(y2)212(x1x2)x0，若圆过定点，则有x0，x2(y2)2120，解得x0，y22，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，22)5已知函数f(x)x3x2，g(x)aln x，aR.(1)若对任意x1，e，都有g(x)x2(a2)x恒成立，求a的取值范围；(2)设F(x)若P是曲线yF(x)上异于原点O的任意一点，在曲线yF(x)上总存在另一点Q，使得POQ中的POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围解(1)由g(x)x2(a2)x，得(xln x)ax22x
7、.由于x1，e，ln x1x，且等号不能同时取得，所以ln xx，xln x0.从而a恒成立，a.设t(x)，x1，e求导，得t(x).x1，e，x10，ln x1，x22ln x0，从而t(x)0，t(x)在1，e上为增函数所以t(x)mint(1)1，所以a的取值范围是(，1(2)F(x)设P(t，F(t)为曲线yF(x)上的任意一点假设曲线yF(x)上存在一点Q(t，F(t)，使POQ为钝角，则0.若t1，P(t，t3t2)，Q(t，aln(t)，t2aln(t)(t3t2)由于0恒成立，a(1t)ln(t)1.当t1时，a(1t)ln(t)1恒成立当t1时，a恒成立由于0，所以a0.若
8、1t1，且t0，P(t，t3t2)，Q(t，t3t2)，则t2(t3t2)(t3t2)0，即t4t210对1t1，且t0恒成立当t1时，同可得a0.综上所述，a的取值范围是(，06已知数列an的前三项分别为a15，a26，a38，且数列an的前n项和Sn满足Snm(S2nS2m)(nm)2，其中m，n为任意正整数(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)求满足San33k2的所有正整数k，n.解(1)在等式Smn(S2nS2m)(nm)2中，分别令m1，m2，得Sn1(S2nS2)(n1)2，Sn2(S2nS4)(n2)2，得an22n3.在等式Snm(S2nS2m)(nm2)中，令n1
9、，m2，得S3(S2S4)1，由题设知，S211，S319，故S429.所以an22n6(nN*)，即an2n2(n3，nN*)又a26也适合上式，故anSn即Snn23n1，nN*.(2)记San33k2(*)n1时，无正整数k满足等式(*)n2时，等式(*)即为(n23n1)23(n10)k2.当n10时，k131.当n10时，则kn23n1，又k2(n23n)22n23n310，所以kn23n.从而n23nkn23n1.又因为n，kN*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*)当n10时，则kn23n1，因为kN*，所以kn23n2.从而(n23n1)23(n10)(n23n2)2.即2n29n270.因为nN*，所以n1或2.n1时，k252，无正整数解；n2时，k2145，无正整数解综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n10，k131.