1、广东省汕头市东方中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为 A. B. C. D. 2. 若，a，则当时，复数为 A. B. C. 3D. 3. 在复平面内，复数，对应的点的关于实轴对称，若，则A. B. 5C. D. 34. 函数在上单调递减，且为奇函数若，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. 5. 袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是A. B. C. D. 6. 若，则的值为A. B. C.D. 7. 函数，已知在处取得极值，则A. 2B. 3C. 4
2、D. 58. 已知函数，对定义域内任意x都有，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 若复数z满足其中是虚数单位，复数z的共轭复数为，则 A. B. z的实部是C. z的虚部是1 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限10. 下列函数中在区间上单调递减的函数有A. B. C. D. 11. 下列说法正确的为A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；B. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有 种不同的分法；C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；D. 6本不同的
3、书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法12. 对于函数，下列说法正确的是 A. 在取得极小值B. 有一个零点C. D. 若在上恒成立，则三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知函数，则_14. 展开式中含项的系数为_用数字表示15. 从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为_用数字作答16. 曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知全集，集合，当时，求集合；若集合，求实数a的取值范围18. 已知复数，且是纯虚数求复数z及；在复平
4、面内，若复数对应点在第二象限，求实数m的取值范围19. 在的展开式中，第三项的二项式系数与第二项的二项式系数之比是9：2求n的值；求展开式中的常数项20. 如图，已知四棱锥的底面ABCD是边长为1的正方形，E是侧棱PC上的动点若E为PC的中点，证明平面BDE；求证：不论点E在何位置，都有；在的条件下，求二面角的大小21. 某县城出租车的收费标准是：起步价是5元乘车不超过3千米；行驶3千米后，每千米车费元；行驶10千米后，每千米车费元 写出车费与路程的关系式；一顾客计划行程30千米，为了省钱，他设计了三种乘车方案：不换车：乘一辆出租车行30千米；分两段乘车：先乘一辆车行15千米，换乘另一辆车再行
5、15千米；分三段乘车：每乘10千米换一次车问哪一种方案最省钱22. 已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若,求的最大值.答案和解析1.【答案】C解：阴影部分表示的是在集合A中，但不在集合B中的元素，即，因为，所以，又因为，所以故选C2.【答案】D解：由题意，当时，有即故选D3.【答案】B【解析】解：，且复数，对应的点的关于实轴对称，则故选：B4.【答案】D解：函数为奇函数，若，则，又函数在上单调递减，解得：，所以x的取值范围是故选D5.【答案】C【解析】解：因为袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法有：直接法：；间接法：；故选：C6.【答案】B
6、解：令得再令得所以所以故选B 7.【答案】D解：，又在处取得极值，所以，即，解得经检验时取得极值，符合题目条件故选D8.【答案】A解：因为，对定义域内任意x都有，则对恒成立，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，故故选A9.【答案】ABD解：，故选项A正确，z的实部是，故选项B正确，z的虚部是，故选项C错误，复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D正确故选：ABD10.【答案】BC解：A是幂函数，其在上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；B中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在内为减函数，故此项符合要求；C中的函数图象是由函数的
7、图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；D中的函数图象为指数函数的图像向左平移一个单位长度得到，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选BC11.【答案】ACD解：对于A，6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙，共有种不同的分法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2作为一组，最后3本作为一组，共有种，再给甲、乙、丙三人，共有种，故B不正确；对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论：一人4本，其他两人各
8、1本，共有；一人1本，一人2本，一人3本，共有种，每人2本，共有，故共有种故选ACD12.【答案】BD解：由题意得，令，得当时，；当时，的增区间是，减区间是，当时，取得极大值，故A错误；当时，当时，函数的图象如下：根据图象可得函数有一个零点，且，故B正确，C错误；对于D，若在上恒成立，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增，故D正确故选BD13.【答案】3解：函数，即故答案为：314.【答案】【解析】解：，展开式中含项的系数为故答案为：15.【答案】23解：设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为；设乙参加，甲不参加，由女
9、生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为；设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为综合得：不同的选法种数为故答案为：2316.【答案】解：，设切点坐标为，因为切线斜率为2，所以，故，此时，所以切点坐标为，所以切线方程为故答案为：17.【答案】解：因为，当时，分 所以集合分 所以集合分 若，则，分 所以分18.【答案】解：，且是纯虚数，是纯虚数，则，即，；，由题意可得，解得实数m的取值范围是19.【答案】解：在的展开式中，第三项的二项式系数与第二项的二项式系数之比是：2，展开式的通项公式为，令，求得，可得常数项为20.【答案】解：证明：在中，同理又，平面AB
10、CD，平面ABCD，平面ABCD如图以点C为原点，CD，CB，CP，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则1，1，0，0，设0，则，即不论点E在何位置，都有；，设平面ADE和平面ABE的法向量分别为，由令，则，可取，由令，则，可取设二面角的大小为，则，由图可知为钝角，二面角的大小为21.【答案】解：设路程为xkm，车费为y元，由起步价是5 元乘车不超过3 千米，可得时，；行驶3km后，每千米车费元，可得时，；行驶10km后，每千米车费元，可得时，；综上：；方案不换车，乘一辆出租车行30千米则车费为元，方案分两段乘车，乘一车行15km，换乘另一车再行15km，当时可得，则车费为元；方案分三段乘车，每乘10千米换一次车，当时，可得元，车费为元，所以方案最省钱22.【答案】解：（1） 令得: 得: 在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 （2）得 当时,在上单调递增 时,与矛盾 当时, 得:当时, 令；则 当时, 当时,的最大值为