1、阶段性测试题六(数 列)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015忻州一中检测)已知等差数列an的前 13 项之和为 39，则 a6a7a8()A6 B9 C12 D18答案 B解析 解法 1：根据等差数列的求和公式可得：S1313a113122d39，化简得：a16d3，所以 a6a7a8a15da16da17d3a118d3(a16d)339.故选 B解法 2：由等差数列的性质得 S13
2、13a739，a73，a6a7a83a79.2(文)(2015江西三县联考)在数列an中，a12，an1an12，nN*，则 a101 的值为()A49 B50 C51 D52答案 D解析 an1an12，an是等差数列，an212(n1)12(n3)a10152.(理)(2015遵义航天中学二模)在数列an中，若 a11，a212，2an1 1an 1an2(nN*)，则该数列的通项公式为()Aan1n Ban 2n1Can 2n2 Dan3n答案 A解析 2an1 1an 1an2，数列1an是等差数列，a11，a212，1ann，an1n，故选 A3(2015山师大附中月考)设函数 f(
3、x)xmax 的导函数为 f(x)2x1，则数列 1fn(nN*)的前 n 项和是()A nn1 Bn2n1C nn1 Dn1n答案 A解析 f(x)mxm1a，a1，m2，f(x)x2x，1fn1nn11n 1n1，Sn(112)(1213)(1n 1n1)nn1.4(文)(2015成都市树德中学期中)已知等差数列an的公差 d0，若 a4a624，a2a810，则该数列的前 n 项和 Sn 的最大值为()A50 B40C45 D35答案 C解析 a4a6a2a810，a4a624，d0，a6a104d119的最大正整数 n 的值为()A3 B4 C5 D6答案 B解析 a2a44，an0，
4、a32，a1a212，a1a1q12，a1q22.消去 a1 得，1qq2 6，q0，q12，a18，an8(12)n124n，不等式 anan1an219化为 293n19，当 n4 时，29341819，当 n5 时，2935 1646.(a0，a1)，数列an满足 anf(n)(nN*)且an是单调递增数列，则实数 a 的取值范围是()A7,8)B(1,8)C(4,8)D(4,7)答案 A解析 anf(n)，且an是单调递增数列，4a20，a1，4a264a65，7a8.11(2015许昌、平顶山、新乡调研)已知正项数列an的前 n 项的乘积等于 Tn(14)n26n(nN*)，bnlo
5、g2an，则数列bn的前 n 项和 Sn 中最大值是()AS6 BS5CS4 DS3答案 D解析 Snb1b2bnlog2a1log2a2log2anlog2Tnlog2(14)n26n2(n26n)，当 n3 时，Sn 取最大值12(文)(2014北京朝阳区期中)同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak：(1)所有元素都是正整数；(2)最小元素为 1；(3)最大元素为 2014；(4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k(kN*)的等差数列那么 A33A61 中元素的个数是()A96 B94C92 D90答案 B解析 A33 中元素是首项为 1，公差为 33 的等差数列，设项数为 m，则有
6、 133(m1)2014，解得 m62；A61 中元素是首项为 1，公差为 61 的等差数列，设项数为 n，则有 161(n1)2014，解得 n34；A33A61 中元素是首项为 1，公差为 3361 的等差数列，设项数为 k，则有 13361(k1)2014，解得 k2.所以设 P(A)表示集合 A 中元素个数，则有P(A33A61)P(A33)P(A61)P(A33A61)3462294.(理)(2015深圳市五校联考)已知数列an的首项 a11，且满足对任意的 nN*，都有 an1an2n，an2an32n 成立，则 a2014()A220141 B220141C220151 D220
7、151答案 A解析 an2anan2an1an1an32n，又 an1an2n，an2an12n1，an1an22n1，由得，an1an2n，又 an1an2n，an1an2n.an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a12n12n222212n1，a2014220141.第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13(2015洛阳市期中)若等比数列an满足 a2a420，a3a540，则 a5a7_.答案 160解析 a3a5q(a2a4)，4020q，q2，a5a7(a3a5)q240221
8、60.14已知函数 f(x)ax(0a1)，数列an满足 a1f(1)，an1f(an)，nN*，则 a2 与 a3 中，较大的是_；a20，a25，a30 的大小关系是_答案 a2 a25a30a20解析 函数 f(x)ax(0aa，所以 aaaa，那么有 a1a2，a3a2，所以 a2与 a3中，较大的是 a2.同理可得 a1a3a5a4a6，所以数列an从第一项开始，先增大后减小再增大再减小，最后趋于平衡值，奇数项的值慢慢变大趋于平衡值，偶数项的值慢慢变小趋于平衡值，所以偶数项的值总是大于奇数项的值，所以 a20，a25，a30 的大小关系是 a25a30a20.15(文)(2014合肥
9、八中联考)数列an的通项公式 anncosn2，其前 n 项和为 Sn，则 S2013_.答案 1006解析 a10，a22，a30，a44，当 n 为奇数时，an0，当 n 为偶数时，若n4k(kN)，则 ann，若 n4k2，则 ann.S201324682010201225031006.(理)(2014北京海淀期中)定义在(0，)上的函数 f(x)满足：当 x1,3)时，f(x)1|x2|；f(3x)3f(x)设关于 x 的函数 F(x)f(x)a 的零点从小到大依次为 x1，x2，xn，.若 a1，则 x1x2x3_；若 a(1,3)，则 x1x2x2n_.答案 14 6(3n1)解析
10、 因为，定义在(0，)上的函数 f(x)满足：当 x1,3)时，f(x)1|x2|；f(3x)3f(x)所以，f(x)的构成规律是：对于任意整数 k，在每一个区间3k,3k1)上，f(x)3k|x23k|，x3k,3k1)，且在此区间上 f(x)满足 0f(x)3k；当 a1 时，F(x)f(x)a 的零点从小到大依次为 x12，x24，x38，所以，x1x2x314；当 a(1,3)时，F(x)f(x)a 的零点从小到大依次满足 x1x243，x3x4432，x2n1x2n43n，所以，x1x2x2n4313n136(3n1)16(2015江西师大附中、鹰潭一中联考)设等差数列an前 n 项
11、和为 Sn，若 Sm11，Sm0，Sm12，则 m_.答案 3解析 解法 1：等差数列an前 n 项和为 Sn，满足 Sm11，Sm0，Sm12，m1a1m1m22d1，ma1mm12d0，m1a1m1m2d2，解得 m3.解法 2：amSmSm11，am1Sm1Sm2，dam1am1，ama1(m1)da1m11，a12m，Smma1mm12dm(2m)mm120，m3.三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)(文)(2014合肥八中联考)已知 ab，且满足 a2a60，b2b60，数列an、bn满足 a11，a26
12、a，an16an9an1(n2，nN*)，bnan1ban(nN*)(1)求证数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解析(1)证明：a0，所以an2an1q.即数列an是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，则 Ann，q1，1qn1q，q1.19(本小题满分 12 分)(2015桂城中学、中山一中摸底)已知各项均为正数的数列an的前n 项和为 Sn，且 a2nan2Sn.(1)求 a1；(2)求数列an的通项；(3)若 bn1a2n(nN*)，Tnb1b2bn，求证：Tn53.解析(1)令 n1，得 a21a12Sn2a1，a10，a11.(2)a2nan2Sn，a2n1an12Sn
13、1，得，(an1an)(an1an1)0，an0，an1an0，an1an1，an11(n1)n.(3)n1 时 b1153符合；n2 时，1n21n21444n212(12n112n1)，k1n1k212(131512n112n1)12353.Tnb1b2bn0，an12|an|，nN*.(1)若 a1，a2，a3 成等比数列，求 a1 的值；(2)是否存在 a1，使数列an为等差数列？若存在，求出所有这样的 a1；若不存在，说明理由解析(1)a10，a22|a1|2a1，a32|a2|2|2a1|.当 02 时，a32(a12)4a1，a1(4a1)(2a1)2，解得 a12 2(舍去)或
14、 a12 2，综上可得，a11 或 a12 2.(2)假设这样的等差数列存在，则由 2a2a1a3，得 2(2a1)a1(2|2a1|)，即|2a1|3a12.当 a12 时，a123a12，解得 a10，与 a12 矛盾；当 0a12 时，2a13a12，解得 a11，从而 an1(nN*)，此时an是一个等差数列；综上可知，当且仅当 a11 时，数列an为等差数列(理)(2015深圳五校联考)已知数列an满足 a132，an2 1an1(n2)，Sn 是数列bn的前n 项和，且有Sn2 1n1n bn.(1)证明：数列1an1为等差数列；(2)求数列bn的通项公式；(3)设 cnanbn，
15、记数列cn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn1.解析(1)证明：an2an11an1(n2)，an12an11an11an11an1，1an1 an1an11an111an111an111(n2)，1an11an111(n2)，数列1an1是以1a112 为首项，1 为公差的等差数列(2)当 n2 时，bnSnSn1(22n2nbn)(22n4n1 bn1)2n2nbn2n4n1 bn1，bnn 2n1bn1，即 bnbn1 2nn1(n2)，b2b1b3b2b4b3 bnbn1221 232 243 2nn1，bnb1n2n1，当 n1 时，b1S12，bnn2n.(3)由(1)知：1an1
16、2(n1)1n1，an1 1n1，anbnn2nn12n1n2n11n12n，Tni1nci(11221)(12211322)(1n2n11n12n)11n12n1.21(本小题满分 12 分)(2015安徽示范高中联考)数列an是公比为12的等比数列，且 1a2 是 a1 与 1a3 的等比中项，前 n 项和为 Sn；数列bn是等差数列，b18，其前 n 项和 Tn 满足 Tnnbn1(为常数，且 1)(1)求数列an的通项公式及 的值；(2)比较 1T1 1T2 1T3 1Tn与12Sn 的大小解析(1)由题意得，(1a2)2a1(1a3)，(1a1q)2a1(1a1q2)，q12，a11
17、2，an(12)n.T1b2，T22b3，88d，16d282d.12，d8，bn8n，Tn4n(n1)(2)令 Cn 1T1 1T2 1Tn14(112)(1213)(1n 1n1)14(1 1n1)，18Cn14，Sn121 12n1121(12)n，12Sn121(12)n，1412Sn12，Cn0)，且 a3 是 6a1 与 a2 的等差中项(1)求an的通项公式；(2)设 bnanlog2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.解析(1)当 n1 时，S1a(S1a11)，a1a.当 n2 时，Sna(Snan1)Sn1a(Sn1an11)得，anaan1，即 anan1a，故数列an
18、是首项为 a1a，公比为 a 的等比数列，anaan1an，故 a2a2，a3a3，由 a3 是 6a1 与 a2 的等差中项可得 2a36a1a2，即 2a36aa2，因为 a0，所以 2a2a60，即(2a3)(a2)0，解得 a2 或 a32(舍去)a2.故 an2n.(2)把 an2n 代入 bnanlog2an，得 bn2nlog22nn2n，Tn12222323n2n，2Tn122223324n2n1，得Tn222232nn2n1212n12 n2n12n12n2n1，Tn2n12n2n1(n1)2n12.(理)(2014孝感高中月考)若数列An满足 An1A2n，则称数列An为“
19、平方递推数列”已知数列an中，a19，点(an，an1)在函数 f(x)x22x 的图象上，其中 n 为正整数(1)证明数列an1是“平方递推数列”，且数列lg(an1)为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn，即 Tn(a11)(a21)(an1)，求 lgTn；(3)在(2)的条件下，记 bnlgTnlgan1，求数列bn的前 n 项和 Sn，并求使 Sn2014 的 n 的最小值解析(1)由题意得：an1a2n2an，an11(an1)2，an1是“平方递推数列”又有 lg(an11)2lg(an1)，lg(an1)是以 lg(a11)为首项，2 为公比的等比数列(2)由(1)知 lg(an1)lg(a11)2n12n1，lgTnlg(a11)(a21)(an1)lg(a11)lg(a21)lg(an1)112n122n1.(3)bnlgTnlgan12n12n1 2(12)n1，Sn2n1 12n1122n2 12n1，又 Sn2014，即 2n2 12n12014，n12n1008，又 0 12n1，nmin1008.
