1、第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则向量b等于()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)答案B2.向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=5,且ab,则x+y的值为()A.-2B.2C.-1D.1答案C解析由题意得12+22+x2=5,2+2y-x=0,即x=0,y=-1,x+y=-1.3.若ABC中,C=90,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.
2、10B.-10C.25D.10答案D解析CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k),则CBCA=(-6)(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,k=10.4.若ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答案A解析AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1).由ABAC0,得A为锐角;由CACB0,得C为锐角;由BABC0,得B为锐角.所以ABC为锐角三角形.5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成2角的两条数轴,e1,e2分别是与x
3、,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为反射坐标系,若OM=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM的反射坐标,记为OM=(x,y),在=23的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()A.a-b=(-1,3)B.|a|=3C.abD.ab答案AB解析a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b=(-1,3),故A正确;|a|=(e1+2e2)2=5+4cos23=3,故B正确;ab=(e1+2e2)(2e1-e2)=2e12+3e1e2-2e22=-32,故C错误;D显然错误.6.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x
4、2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为.答案4解析由题意知ab,所以x1=x2+y-22=y3,即y=3x,x2+y-2=2x,把代入得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当x=-2,y=-6时,b=(-2,-4,-6)=-2a,向量a,b反向,不符合题意,故舍去.当x=1,y=3时,b=(1,2,3)=a,a与b同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.答案-,-65-65,5215解析由已知得ab=5(-2)+3t+
5、1-25=3t-525,因为a与b的夹角为钝角,所以ab0,即3t-5250,所以t5215.若a与b的夹角为180,则存在0,使a=b(0),即(5,3,1)=-2,t,-25,所以5=-2,3=t,1=-25,解得=-52,t=-65,故t的取值范围是-,-65-65,5215.8.已知O为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QAQB取得最小值时,求Q的坐标.解设OQ=OP,则QA=OA-OQ=OA-OP=(1-,2-,3-2),QB=OB-OQ=OB-OP=(2-,1-,2-2),所以QAQB=(1-,2-,3-2)(2-
6、,1-,2-2)=2(32-8+5)=23-432-13.当=43时,QAQB取得最小值,此时点Q的坐标为43,43,83.9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长AB=2,AB1BC1,点O,O1分别是棱AC,A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M为BC1的中点,试用向量AA1,AB,AC表示向量AM;(3)求cos.解(1)设该三棱柱的侧棱长为h,由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),则AB1=(3,1,h),BC1=(-3,1,h),因为AB1BC1,所以AB1BC1=-3
7、+1+h2=0,所以h=2.(2)AM=AB+BM=AB+12BC1=AB+12(BB1+BC)=AB+12(AA1+AC-AB)=12AB+12AC+12AA1.(3)由(1)可知AB1=(3,1,2),BC=(-3,1,0),所以AB1BC=-3+1=-2,|AB1|=6,|BC|=2,所以cos=-226=-66.关键能力提升练10.(多选)已知点P是ABC所在的平面外一点,若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则()A.APABB.APBPC.BC=53D.APBC答案AC解析APAB=-2-2+4=0,APAB,即APAB,故A正确;BP=BA+AP
8、=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BPAP=3+6-3=60,AP与BP不垂直,故B不正确;BC=AC-AB=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),|BC|=62+12+(-4)2=53,故C正确;假设AP=kBC,则1=6k,-2=k,1=-4k,无解,因此假设不成立,即AP与BC不平行,故D不正确.11.已知点A(1,0,0),B(0,-1,1),若OA+OB与OB(O为坐标原点)的夹角为120,则的值为()A.66B.-66C.66D.6答案B解析OB=(0,-1,1),OA+OB=(1,-,),cos120=(OA+AB)OB|OA+OB|OB|
9、=222+12=-12,可得0,解得=-66.故选B.12.已知点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AB在AC上的投影为.答案-4解析AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),cos=0-20+042+(-5)242+(-3)2=-20541,AB在AC上的投影为|AB|cos=42+(-5)2-20541=-4.13.已知空间向量a=(1,-2,3),则向量a在坐标平面xOy上的投影向量是.答案(1,-2,0)14.已知A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2
10、,2,3),AP=12(AB-AC),则点P的坐标是.答案5,12,0解析CB=(6,3,-4),设P(a,b,c),则(a-2,b+1,c-2)=3,32,-2,a=5,b=12,c=0,P5,12,0.15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.建立空间直角坐标系,(1)求cos;(2)在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,求N点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,12,1,从而AC=(3
11、,1,0),PB=(3,0,-2).则cos=ACPB|AC|PB|=327=3714.的余弦值为3714.(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则NE=-x,12,1-z,由NE平面PAC可得,NEAP=0,NEAC=0,即(-x,12,1-z)(0,0,2)=0,(-x,12,1-z)(3,1,0)=0,化简得z-1=0,-3x+12=0,x=36,z=1,即N点的坐标为36,0,1.16.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以向量AB,AC所在有向线段为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且向量a分别与向量AB,AC垂直,
12、求向量a.解(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),设为AB,AC的夹角,则cos=ABAC|AB|AC|=-2+3+64+1+91+9+4=12,sin=32.S=|AB|AC|sin=73.以AB,AC为边的平行四边形面积为73.(2)设a=(x,y,z),由题意,得-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,x2+y2+z2=3.解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1.a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).学科素养拔高练17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).
13、(1)求证:PA平面ABCD;(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(ab)c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算(ABAD)AP的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算(ABAD)AP的绝对值的几何意义.(1)证明APAB=(2,-1,-4)(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,APAB,即APAB.同理,APAD=(-1,2,-1)(4,2,0)=-4+4+0=0,APAD,即PAAD.又AB平面ABCD,AD平面ABCD,ABAD
14、=A,PA平面ABCD.(2)解|(ABAD)AP|=48,又cos=3105,|AB|=21,|AD|=25,|AP|=6,V=13|AB|AD|sin|AP|=16,可得|(ABAD)AP|=3VP-ABCD.猜测:|(ABAD)AP|在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积).18.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为4的正方形,A1C1与B1D1交于点N,BC1与B1C交于点M,且AMBN,建立空间直角坐标系.(1)求AA1的长;(2)求;(3)对于n个向量a1,a2,an,如果存在不全为零的n个实数1,2,n
15、,使得1a1+2a2+nan=0成立,则这n个向量a1,a2,an叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM,BN,CD是否线性相关,并说明理由.解(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AA1的长为a,则B(4,4,0),N(2,2,a),BN=(-2,-2,a),A(4,0,0),M2,4,a2,AM=-2,4,a2,由BNAM,得BNAM=0,即a=22,即AA1=22.(2)BN=(-2,-2,22),AD1=(-4,0,22),cos=BNAD1|BN|AD1|=63,=arccos63.(3)由AM=(-2,4,2),BN=(-2,-2,22),CD=(0,-4,0),1(-2,4,2)+2(-2,-2,22)+3(0,-4,0)=(0,0,0),得1=2=3=0,则AM,BN,CD线性无关.