1、集宁一中西校区20192020年第一学期期中考试高三年级理科数学试卷第卷客观题（共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据集合相等的要求，对四个选项进行判断，得到答案.【详解】A选项中，集合、都是点集，但集合里的元素是点，集合里的元素是点，所以集合、不是同一集合；B选项中，集合、都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合；C选项中，集合是点集、集合是数集，所以集合、不是同一集合；D选项中，集合数集、集合是点集，集合、不
2、是同一集合.故选：B.【点睛】本题考查相同集合的判断，属于简单题.2.已知复数 （其中是虚数单位），那么的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】复数的共轭复数是.故选A.3.下列命题错误的是A. 命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题B. 命题“R, ”否定是“,”C. 且，都有D. “若，则”的逆命题为真【答案】D【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行判断可得结果【详解】对于选项A，由逆否命题的定义可得，命题“若则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确对于选项B，由含量词的命题的否定可得，命题“R, ”的否定是“,”，所以B正确对于选项C，当且时，由基本不等式可得所以C
3、正确对于选项D，命题“若，则”当时不成立，所以D不正确故选D【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力4.已知，则实数，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，故选5.设向量，则“”是“”的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充要条件的判断方法进行判断即可.【详解】若，则，则；但当时， 故“”是“”的充分但不必要条件.选A.【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.6.要得到的图象，
4、只需将的图象 ( )A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】【分析】先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.【详解】将的图象向左平移个单位后，得到的图象，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x的系数对平移单位的影响.7.函数的图象如图所示，则y的表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据图像最大值和最小值可得，根据最大值和最小值的所对应的的值，可得周期，然后由，得到，代入点，结合的范围，得到答案.【详解】根据图像可得，即，根据，得，所以，代入，得，所以，所以，又因，所以得，所以得到，故选：
5、B.【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，属于简单题.8.函数在R上单调递减，且为奇函数若，则满足的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据奇函数，可得，再由单调性，求得的范围，解得的范围.【详解】因为为奇函数，且，所以，因为函数在R上单调递减，所以，可得，所以，故满足要求的的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查奇函数的性质，根据函数的单调性解不等式，属于简单题.9.若，则=（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2+sin2），再将“弦”化“切”即可得到答案【详解】tan，cos2+2sin
6、2 故选：C【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题10.已知等比数列的公比，且，则数列的前n项和（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的下标公式，得到，结合，解得和的值，然后得到公比和首项，从而得到其前项和.【详解】等比数列中，有，而，可得或者根据公比可知是递增数列，所以，可得，所以前n项和，故选：C.【点睛】本题考查等比数列下标公式，等比数列通项基本量计算，等比数列求和公式，属于简单题.11.函数的极值点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出导函数，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间【详解
7、】，且函数单调递增又，函数在区间内存在唯一的零点，即函数的极值点在区间内故选A【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点12.定义在上的偶函数满足，且当时，函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的零点的的个数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可。【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作
8、出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，当时，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题。第卷主观题（共90分）二、填空题（每小题5分共20分）13.已知数列满足，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】待定系数得到，得到【详解】因为满足，所以，即，得到，所以，而，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，故.故答案为：.点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定
9、系数法构造新数列求通项，属于中档题.14.已知，则=_【答案】【解析】【分析】换元法:令,解出,再将代入,得,从而可得.【详解】令,则,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了用换元法求函数解析式,换元时,一定要注意新元的取值范围,属中档题.15.若函数的定义域是R, 则的取值范围是.【答案】【解析】函数的定义域是R，则在R上恒成立，当时满足题意；当时，解得.综上：的取值范围是.16.函数在上单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】首先根据单调性及最值可得，分为和两种情形，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式，解出取并集即可.【详解】由题意得，时，即，因此；时，
10、即，因此，综上可得，故答案为.【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论的数学思想，是一道综合题三、简答题：（共70分）17.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大最小值及相应的值.【答案】(1)；(2)当时，；当时，。【解析】【详解】分析：（1直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化简即可求函数的最小正周期；（II）结合已知条件求出，进而可求出函数在区间上的最大最小值及相应的值详解：（1）所以的最小正周期是（2）因为，所以，所以当时，当时，点睛：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=Asin（x+）型函数的图象和性质，是基础题18.已知等差
11、数列的前项和为，且，.（1）求；（2）记，求.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由基本量法，得到，解得，所以；（2），利用裂项相消法，求得。试题解析：（1），解得，所以；（2），所以。点睛：本题考查等差数列的基本性质与裂项相消求和。等差数列的基本题型中，熟悉掌握基本量法的应用，求得基本量，得到相关求解答案。裂项相消求和主要掌握其基本结构，知道哪些求和可以利用裂项来处理的。19.已知、分别为的三边、所对的角，向量，且（1）求角的大小；（2）若，成等差数列，且，求边的长【答案】（1）；（2）6【解析】【详解】试题分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得，再由已知可得从而求得C的值；（
12、2）由，成等差数列，得，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长试题解析：（1）,，；（2）由成等差数列，得，由正弦定理得，由余弦定理，考点：等差数列的性质；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角20.已知函数， ，曲线的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）当时，求证： ；【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当， ， 单调递减；当， ， 单调递增.所以，所以.21.已知函数
13、.（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析；（3）（1，0）【解析】【分析】（1）求出函数在区间上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当时，求出函数的最小值为，故问题转化为当时恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围【详解】（1）当时，当时，单调递减；当时，单调递增当时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为又，所以函数在区间上的最小值为，最大值为（2）由题意得，当，即时，恒成立，在上单调递减当时，恒成立，在上单调递增
14、当时，由得，或（舍去），在上单调递减，在上单调递增综上可得，当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递减（3）由（2）可得，当时，若不等式恒成立，则只需，即，整理得，解得，又，实数的取值范围为【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数22.已知数列的前n项和，其中（）证明是等比数列，并求其通项公式；（）若，求【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；（）利用（），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值试题解析：（）由题意得，故，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是.（）由（）得.由得，即.解得.【考点】数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前项和.【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解【此处有视频，请去附件查看】