1、立体几何(5)1如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，所以E，F，(0，0，1)，(0，2，0)，(1，0，0)，(1，0，0)(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因为(0，0，1)(1，0，0)0，(0，2，0)(
2、1，0，0)0，所以，即APDC，ADDC.又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC.22018浙江卷如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：AB1平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值解析：(1)证明：由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，得AB1A1B12，所以A1B1AB1AA1，故AB1A1B1.由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，得B1C1.由ABB
3、C2，ABC120，得AC2.由CC1AC，得AC1，所以AB1B1C1AC1，故AB1B1C1.又因为A1B1B1C1B1，因此AB1平面A1B1C1.(2)解：如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.由AB1平面A1B1C1，得平面A1B1C1平面ABB1.由C1DA1B1，得C1D平面ABB1.所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角由B1C1，A1B12，A1C1，得cosC1A1B1，sinC1A1B1，所以C1D，故sinC1AD.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.(1)证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半
4、轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，0)，B(1，0，0)，A1(0，4)，B1 (1，0，2)，C1 (0，1)因此(1，2)，(1，2)，(0，2，3)由0，得AB1A1B1.由0，得AB1A1C1.又A1C1A1B1A1，所以AB1平面A1B1C1.(2)解：设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由(1)可知(0，2，1)，(1，0)，(0，0，2)设平面ABB1的法向量为n(x，y，z)由得可取n(，1，0)所以sin |cos，n|.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.32018江苏卷如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q
5、分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值解析：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立空间直角坐标系O xyz.因为ABAA12，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)(1)解：因为P为A1B1的中点，所以P，从而，(0，2，2)，故|cos，|.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此，(0，2，2
6、)，(0，0，2)设n(x，y，z)为平面AQC1的法向量，则即不妨取n(，1，1)设直线CC1与平面AQC1所成角为，则sin |cos，n|.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.42019太原市高三年级模拟如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AD，DC，B1C1的中点(1)求证：BD1平面EFG；(2)求二面角BEGC的余弦值解析：(1)证明：连接AC，BD，GD1，GB，则GD1GB.由正方体的对称性知BD1，EG均过正方体的对称中心O，GOBD1，即BD1GE.在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，DD1AC.在正方形ABCD
7、中，ACBD，又BDDD1D，AC平面BDD1，E，F分别为DA，DC的中点，EFAC，即EF平面BDD1，BD1平面BDD1，EFBD1.又EFGEE，BD1平面EFG.(2)由条件知，以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(1，0，0)，G(1，2，2)，(1，2，0)，(1，0，2)，(1，2，0)，(1，0，2)，设n1(x1，y1，z1)是平面BEG的法向量，则由得得取z11，得n1(2，1，1)设n2(x2，y2，z2)是平面CEG的法向量，则由得得取y21，得n2(2，1，1)，cosn
8、1，n2，二面角BEGC的余弦值为.52019河南郑州一中摸底测试，直观想象如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB2，ADCD1，M为线段AB的中点将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：平面DBC平面ACD；(2)求二面角ACDM的余弦值解析：(1)证明：在题图1中，可得ACBC，从而AC2BC2AB2，故ACBC.如图，取AC的中点O，连接DO，则DOAC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DO平面ADC，DO平面ABC，DOBC，又ACBC，ACDOO，BC平面ACD，BC平面DBC，故平面DBC平面ACD.
9、(2)连接OM，由(1)可得OD，OA，OM两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，则M，C，D，设n1(x，y，z)为平面CDM的法向量，则即令x1，可得n1(1，1，1)又n2(0，1，0)为平面ACD的一个法向量，cosn1，n2，二面角ACDM的余弦值为.62019南昌市重点高中高三年级第一次模拟如图，在三棱柱ABCDEF中，所有棱长均相等，且ABEACF，CEBFO，点P为线段ED上的动点(异于E，D两点)(1)当P在线段ED的中点时，证明：OP平面ACFD；(2)当P在线段ED上何处时，二面角OPFE的余弦值为？解析：(1)证法一当P为ED的中点时，连接CD，O为CE的中点，OPCD
10、，又OP平面ACFD，CD平面ACFD，OP平面ACFD.证法二取EF的中点G，P为ED的中点，PGFD，又PG平面ACFD，FD平面ACFD，PG平面ACFD.连接OG，同理可证OG平面ACFD.故平面OPG平面ACFD.又OP平面OPG，OP平面ACFD.(2)连接AE，AF，AO，令AB，ABEACF，ABACAFAE.又O为BF，CE的中点，AOBF，AOCE，AO平面CBEF，又BC平面CBEF，AOBC，取BC的中点S，连接AS，OS，易知BCAS，BC平面ASO，BCOS，又易知OSCF，BCCF，故底面BCFE为正方形以OB，OE，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，B(1，0，0)，E(0，1，0)，F(1，0，0)，A(0，0，1)，(1，0，0)，(1，1，0)，由，得D(1，1，1)，令t(0t1)，则P(t1，1，1t)，O(t1，1，1t)设平面OPF的法向量为m(x，y，z)则即取z1，则m(0，t1，1)，为平面OPF的一个法向量同理可知n(1，1，1)为平面DEF的一个法向量|cosm，n|，得t，故|，即当点P为DE的靠近点D的四等分点时，二面角OPFE的余弦值为.