1、专题复习（一）解析几何 1画出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）为顶点的ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x2y的最大值和最小值解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求ABC区域直线AB的方程为x+2y1=0，BC及CA的直线方程分别为xy+2=0，2x+y5=0在ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y10，xy+20，2x+y50,只能=,于是=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,
2、又66,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有,由于6x6, 当=时,d取得最小值.7. 在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点. （）如果直线l过抛物线的焦点，求的值； （）如果证明直线l必过一定点，并求出该定点.解：（）由题意：抛物线焦点为（1，0）设消去x得则 = （）设消去x，得 则y1+y2=4t y1y2=4b = 令直线l过定点（2，0） 8如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.PMNO1O2Oyx 解：以O1O2的中点O为原点，
3、O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：,即，因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y）则（x+2）2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即 综上所述，所求轨迹方程为：（或）9设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程； （2）的最小值与最大值. 解:（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 的解. 将代入并化简得，所以于是设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中
4、点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 得，所以当时，有 并且 将代入并整理得 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为（2）解：由点P的轨迹方程知所以故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为10.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，
5、试求点N的轨迹方程解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kxy=0该直线与圆 相切，双曲线C的两条渐近线方程为 故设双曲线C的方程为，又双曲线C的一个焦点为，双曲线C的方程为 （2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1| 根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（）则 代入并整理得点N的轨迹方程为 11.如图，、为圆与轴的两个交点，为垂直于轴从弦，且 与的交点为。（1） 求动点的轨迹方程；（2） 记动
6、点的轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于轴右边不同两点、，且，求直线的方程。解:（1）由图可知。设，则 可得，由可得。 （2）设直线的方程为则消去可得。 直线交双曲线的右支于不同两点， 解得 。 。消去可得（舍正），所求直线的方程为。 12.有一幅椭圆型彗星轨道图，长4cm，高，如下图，已知O为椭圆中心，A1，A2是长轴两端点，太阳位于椭圆的左焦点F处. （）建立适当的坐标系，写出椭圆方程，并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离； （）直线l垂直于A1A2的延长线于D点，|OD|=4，设P是l上异于D点的任意一点，直线A1P，A2P分别交椭圆于M、N（不同于A1，A2）两点，问点A2能否在以MN为直径的圆上？试说明理由.解：（I）建立图示的坐标系，设椭圆方程为依题意，2a=4，椭圆方程为 F（1，0）将x=1代入椭圆方程得当彗星位于太阳正上方时，二者在图中的距离为1.5. （）由（I）知，A1（2，0），A2（2，0），设M（在椭圆上，又点M异于顶点A1，A2，2x02，由P、M、A1三点共线可得P P、A2、N三点共线，直线A2M与NA2不垂直，点A2不在以MN为直径的圆上