1、 【高频考点解读】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系【热点题型】题型一 等差数列的性质及基本量的求解【例1】 (1)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A 6 B4 C2 D2【答案】A【解析】(2)(2014浙江卷)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn，a11，S2S336.求d及Sn；求m，k(m，kN*)的值，使得amam1am2amk65.【提分秘籍】(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化
2、解题过程但要注意性质运用的条件，如mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷【举一反三】 (1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0 B37 C100 D37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10(3)已知等差数列an的前n
3、项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_【答案】(1)C(2)A(3)60【解析】题型二 等差数列的判定与证明【例2】若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an【提分秘籍】 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一
4、个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【举一反三】 已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由当c时，bn2n，当n2时，bnbn12.故当c时，数列bn为等差数列法二由bn，c0，可令c，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为2的等差数列即存在一个非零常数c，使数列bn也为等差数列题型三 等差数列前n项和的最值问题 【例3】 等差数列an的首项a10，设其前n项和为Sn，且S5
5、S12，则当n为何值时，Sn有最大值？所以Snna1dna1(a1)a1(n217n)a1a1，因为a10，nN*，所以当n8或n9时，Sn有最大值【提分秘籍】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值【举一反三】 (1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n的值是()A5 B6 C7 D8(2)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn
6、取最大值时，n的值为()A5 B6 C5或6 D11(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_【答案】(1)B(2)C(3)110【解析】(1)依题意得2a64，2a72，a620，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，选B.(2)由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，选C.(3)因为等差数列an的首项a120，公差d2，代入求和公式得，Snna1d20n2n221n，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.【高考风
7、向标】1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=（）A、-1 B、0 C、1 D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B.2.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9【答案】D【解析】3.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】C【解析】【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，则_【答案】【解析】【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .【答案】10【解析
8、】因为是等差数列，所以， 即，所以，故应填入【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 【答案】5【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5【高考押题】 1记Sn为等差数列an的前n项和，若1，则其公差d ()A. B2C3 D4【解析】由1，得1，即a1d1，d2.【答案】B2设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1 ()A2 B2 C. D【答案】D3已知等差数列an，且3(a3a5)2(a7a10a13)48，则数列an的前13项之和为 ()A24 B39
9、 C104 D52【答案】D【解析】4设Sn是等差数列an的前n项和，公差d0，若S11132，a3ak24，则正整数k的值为 ()A9 B10 C11 D12【答案】A【解析】依题意得S1111a6132，a612，于是有a3ak242a6，因此3k2612，k9，故选A.5已知数列an满足an1an，且a15，设an的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为()A7 B8 C7或8 D8或9【答案】C【解析】由题意可知数列an是首项为5，公差为的等差数列，所以an5(n1)，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n7或8，故选C.6在等差数
10、列an中，a1533，a2566，则a35_【答案】99【解析】a25a1510d663333，a35a2510d663399.7设Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_【答案】1【解析】由题意知解得a5a4d1(2)1.8已知等差数列an中，S39，S636，则a7a8a9_【答案】459已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由(1)证明由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11.两式相减得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)解由题设知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列10设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.
