1、 【高频考点解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【热点题型】题型一 正、余弦定理的简单运用【例1】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a2，b，A45，则c_(2)若(abc)(abc)ac，则B_【答案】(1)3(2)【解析】(1)法一在ABC中，由正弦定理得sin B，因为ba，所以BA，所以B30，C180AB105，sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60.故c3.【提分秘籍】(1)在解有关三角形的题目时，要有
2、意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制【举一反三】 (1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形(2)在ABC中，A60，b1，SABC，则_【答案】(1)A(2)【解析】(1)由2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以co
3、s C0，所以90C180，即ABC为钝角三角形题型二 正、余弦定理的综合运用【例2】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积【解析】(1)在ABC中，由题意知，sin A，因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理，得b3.(2)由BA，得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.【提分秘籍】 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角
4、函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等【举一反三】 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面积Ssin C，求a和b的值【解析】所以sin Asin B3sin C.由正弦定理可知ab3c.又因为abc8，故ab6.由于Sabsin Csin C，所以ab9，从而a26a90，解得a3，b3.题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】 如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方
5、向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：2.449)【解析】则有10t，t0.245小时14.7分钟故缉私船沿北偏东60方向，需14.7分钟才能追上走私船【提分秘籍】解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中
6、列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解【举一反三】 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.【答案】150【解析】【高考风向标】 【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，为边上的点，与的面积分别为和过作于，于，则 【答案】【解析】由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此【2015高考广东，理11】设的内角，的对边分别为，若， ，则 . 【答案】【解析】因为且，所以或，又，所以，又，由正弦定理得即解得，故应填入【2015高考湖北，理12】
7、函数的零点个数为 【答案】2【解析】【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】【解析】【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，从而，所以，.【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于_【答案】7【解析】由已知得的面积为，所以，所以由余弦定理得，【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍()
8、求；()若，求和的长 【答案】()；()【解析】【2015高考浙江，理16】在中，内角，所对的边分别为，已知，=.（1）求的值；（2）若的面积为7，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由及正弦定理得，又由，即，得，解得；（2）由，得，又，由正弦定理得，又，故.【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，求的长.【答案】【解析】如图， 【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，所对的边分别为，向量与平行（I）求；（II）若，求的面积【答案】（I）；（II）【解析】（I）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以（2014天津卷）在ABC中，内角A，B，C所对的边分
9、别是a，b，c.已知bca，2sin B3sin C，则cos A的值为_【答案】【解析】2sin B3sin C，2b3c.又bc，a2c，bc，cos A.（2014新课标全国卷）设点M(x0，1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_【答案】1，1【解析】在OMN中，OM1ON，所以设ONM，则45135.根据正弦定理得，所以sin 1，所以0x1，即1x01，故符合条件的x0的取值范围为1，1（2014广东卷）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos Cccos B2b，则_【答案】2【解析】（2014安徽卷）设ABC的内角A，B
10、，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值【解析】 (1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定理得cos B，所以由正弦定理可得a2b.因为b3，c1，所以a212，即a2 .(2)由余弦定理得cos A.因为0Ac.已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值【解析】所以cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.（2014全国卷）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan A，求B.【解析】由题设和正弦定理得3sin Acos
11、C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因为tan A，所以cos C2sin C，所以tan C.所以tan Btan180(AC)tan(AC)1，所以B135.（2014新课标全国卷）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_【答案】【解析】（2014新课标全国卷）钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B. C2 D1【答案】B【解析】根据三角形面积公式，得BABCsin B，即1sin B，得sin B，其中C8 Bab(ab)16 C6abc12 D
12、12abc24【答案】A【解析】因为ABC，所以ACB，C(AB)，所以由已知等式可得sin 2Asin(2B)sin2(AB)，即sin 2Asin 2Bsin 2(AB)，所以sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)sin 2(AB)，所以2 sin(AB)cos(AB)2sin(AB)cos(AB)， 所以2sin(AB)cos(AB)cos(AB)，所以sin Asin Bsin C.由1S2，得1bcsin A2.由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以12R2sin Asin Bsin C2，所以12，即2R2，所以bc(bc)abc8R3sin
13、Asin Bsin CR38.【高考押题】 1在ABC中，若a4，b3，cos A，则B()A. B. C. D. 【答案】A【解析】2在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为 ()A. B. C2 D2 【答案】B【解析】因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为 ()A22 B.1 C22 D.1 【答案】B【解析】由正弦定理及已知条件，得c2，又sin Asin(BC).从而SABCbcsin A221. 4在ABC中，角A，B，
14、C的对边分别为a，b，c，则“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】5如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于 ()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m 【答案】C【解析】如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2) (m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m)6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b
15、2)tan Bac，则角B的值为_【答案】或【解析】由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.7在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos Cccos B2b，则_【答案】2【解析】由已知及余弦定理得bc2b，化简得a2b，则2.8设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则sin B_【答案】【解析】9如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC. (1)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sin CBA，求BC的长【解析】10设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值【解析】(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.